Les filtres passifs et actifs — Première partie – L'atelier de la Tech par Bastien

Qu’est-ce qu’un filtre ?

Tout le monde a déjà utilisé un filtre dans sa vie quotidienne. Le plus familier est sans doute le filtre de la cafetière matinale : il retient mécaniquement les grains de marc insolubles et laisse s’écouler le précieux breuvage sombre.

**Fig. 1** — Analogie entre un filtre à café et un filtre électronique

En électronique, nous sommes confrontés en permanence au même besoin de tri. Lorsque vous tendez une antenne dans l’air ou branchez un câble audio, des milliers de signaux coexistent simultanément : les fréquences porteuses de la voix d’un animateur radio, le ronflement à 50 Hz du réseau électrique secteur, les parasites d’une alimentation à découpage voisine, l’allume-gaz de la voisine, la mobylette trafiquée du jeune voisin et le bruit thermique. Le rôle du filtre électronique est d’agir comme un douanier sélectif : il laisse passer intactes les fréquences recherchées et bloque impitoyablement les fréquences indésirables.

Mais attention : cette sélection ne fonctionne jamais comme un interrupteur magique en « tout ou rien ». Dans le monde réel des composants analogiques, il n’existe pas de frontière tranchée au rasoir où un signal à 999 Hz passerait à 100 % pour disparaître instantanément à 1 001 Hz. Un filtre électronique ne coupe pas net : il atténue graduellement. Entre la zone où le signal circule sans encombre (la bande passante) et celle où il finit presque étouffé (la bande atténuée), le circuit présente toujours une zone de transition continue, dont la pente plonge plus ou moins vite selon l’architecture du circuit, sa complexité et le nombre d’étages mis en jeu.

En résumé, un filtre électronique est un circuit qui sculpte le signal en modifiant son amplitude (la force de la tension, via son gain) et son déphasage (son calage dans le temps) en fonction directe de la fréquence qui le traverse.

Règle fondamentale : action continue d'un filtre linéaire sur l'amplitude et la phase — **Fig. 2** — Règle fondamentale : action continue d’un filtre linéaire sur l’amplitude et la phase

Les filtres ne sont pas réservés à des appareils spécialisés ou mystérieux : ils se cachent déjà au cœur de la plupart des montages électroniques ordinaires, souvent sans même que l’on ait cherché à fabriquer un « filtre » au sens strict !

Prenons trois exemples très concrets du quotidien :

À l’entrée d’un amplificateur audio : pour éviter qu’une tension continue indésirable (provenant d’une source audio ou d’un capteur) ne vienne saturer l’amplificateur, on insère un condensateur de liaison en série (qui joue le rôle de barrage étanche bloquant le courant continu tout en laissant passer les signaux des ondes sonores). Juste derrière, une résistance de polarisation relie le circuit à la masse pour fixer un potentiel de repos stable. Sans l’avoir prémédité, l’union de ce condensateur et de cette résistance forme un filtre passe-haut naturel, qui enlève la composante continue du signal et laisse passer la musique !
Dans une alimentation de laboratoire : après avoir transformé et redressé (ou découpé à haute fréquence) la tension du secteur 230 V, le signal obtenu est encore haché et ondulant. Des condensateurs servent alors de réservoir d’énergie et forment un filtre passe-bas qui réduit fortement l’ondulation. La tension obtenue n’est jamais parfaitement lisse : il subsiste une ondulation résiduelle, à laquelle peuvent s’ajouter du bruit et des perturbations transitoires ; la régulation placée après le filtrage peut encore les atténuer.
Dans une minuterie ou un clignotant : la résistance freine le courant et le condensateur met un certain temps à se remplir. Ce temps de charge fonctionne comme un sablier électronique pour créer un délai d’attente (par exemple éteindre un plafonnier après 30 secondes ou donner le tempo à un clignotement). Cette vitesse de remplissage est mesurée par la constante de temps, traditionnellement désignée par la lettre grecque tau minuscule ( $\tau$ ), égale au produit direct $\tau = R \times C$ (exprimée en secondes lorsque $R$ est en ohms et $C$ en farads). C’est précisément ce rythme temporel $\tau$ qui fixera plus loin les fréquences de coupure de certains de nos filtres !

Autrement dit, quiconque câble des composants manipule déjà des filtres sans le savoir. Commençons donc par explorer leurs quatre visages cardinaux.

Les quatre grandes réponses fréquentielles en amplitude ou les différentes façons de sélectionner les fréquences et le déphaseur sélectif.

Tout d’abord, qu’appelle-t-on au juste le spectre ?

Le mot vient du latin spectrum, qui désignait une « apparence » ou une « apparition ». Au XVIIᵉ siècle, Isaac Newton (Newton, 1672) l’emploie en optique pour nommer l’image colorée allongée obtenue lorsqu’un faisceau de lumière blanche est décomposé par un prisme. Son texte est daté du 6 février 1671/72 selon le calendrier anglais de l’époque et publié le 19 février 1671/72 dans les Philosophical Transactions, soit en 1672 dans notre calendrier. Le terme a ensuite été étendu, par analogie, à l’étude des sons, des signaux électriques et de nombreux autres phénomènes physiques.

En électronique, le spectre fréquentiel d’un signal représente les différentes fréquences qui composent ce signal et leur importance respective :

une sinusoïde idéale de fréquence $f_0$ ne comporte qu’une seule composante fréquentielle : dans la représentation usuelle à fréquences positives, son spectre présente une raie à $f_0$ ;
un signal périodique complexe, comme un signal carré, contient une fréquence fondamentale accompagnée d’harmoniques ;
une voix, un son musical réel ou un bruit répartit son énergie sur une plage plus ou moins large de fréquences ;
une éventuelle composante continue, égale à la valeur moyenne du signal, est représentée par une raie à $0\ \text{Hz}$ .

**Fig. 3** — Comprendre la composante continue à 0 Hz dans le spectre et le comportement des composants

Pour nous en faire une première image, imaginons un clavier idéal dont chaque touche ne produirait qu’une seule fréquence. Le spectre indiquerait alors quelles touches sont activées et avec quelle intensité. L’analogie a toutefois ses limites : une véritable note de piano contient elle-même une fondamentale et de nombreuses harmoniques.

Comprendre la fondamentale, les harmoniques et l'origine du timbre sonore — **Fig. 4** — Comprendre la fondamentale, les harmoniques et l’origine du timbre sonore

Le spectre permet ainsi de regarder un signal sous un autre angle : au lieu d’observer sur un oscilloscope comment sa tension évolue au fil du temps, nous découvrons la « recette » des fréquences qui le constituent.

Selon la région du spectre que nous souhaitons privilégier ou, au contraire, atténuer, nous distinguons quatre grands types de réponses en amplitude :

Le filtre passe-bas transmet la composante continue et les basses fréquences avec une faible atténuation, puis atténue progressivement les fréquences élevées au-delà de sa zone de transition. Il est notamment utilisé pour le lissage et la réduction des parasites à haute fréquence.
Le filtre passe-haut atténue fortement la composante continue et les basses fréquences, tout en transmettant les fréquences plus élevées avec une faible atténuation. On l’utilise notamment pour supprimer une composante continue, réaliser une liaison entre deux étages ou réduire les dérives très lentes.
Le filtre passe-bande privilégie une plage comprise entre une fréquence basse $f_1$ et une fréquence haute $f_2$ , tout en atténuant les fréquences situées de part et d’autre. Dans un récepteur radio, un filtre passe-bande contribue ainsi à sélectionner le canal recherché.
Le filtre coupe-bande, ou réjecteur, présente le comportement complémentaire : il atténue une plage déterminée tout en transmettant les fréquences inférieures et supérieures. Lorsque la bande rejetée est très étroite, on parle de filtre à encoche, ou notch. Il peut, par exemple, réduire une perturbation à $50\ \text{Hz}$ ou $60\ \text{Hz}$ , tout en limitant son influence sur le reste du signal.

Le passage d’une bande à l’autre dépend notamment de l’ordre du filtre, c’est-à-dire du degré du dénominateur de sa fonction de transfert après simplification. Pour un passe-bas conventionnel sans zéros compensateurs, chaque pôle supplémentaire augmente de 20 dB/décade la pente asymptotique d’atténuation.

Une cinquième réponse à part : le filtre passe-tout, ou réseau déphaseur

Il existe une cinquième famille, d’apparence paradoxale : le filtre passe-tout, ou réseau déphaseur (all-pass filter). Contrairement aux quatre précédentes, il ne coupe aucune fréquence et ne modifie pas l’amplitude du signal. Pourquoi alors le considérer comme un filtre ? Parce que sa phase, elle, varie avec la fréquence : il décale dans le temps certaines composantes du signal par rapport à d’autres, sans en atténuer aucune.

Dans une enceinte acoustique à plusieurs voies, par exemple, les haut-parleurs et les filtres de séparation introduisent des déphasages différents. Un réseau passe-tout peut corriger leur alignement temporel autour de la fréquence de raccordement. Il sert également à réaliser des effets de type phaser ou certains oscillateurs en quadrature.

Nous détaillerons sa formulation mathématique et son comportement en phase plus loin dans l’article, une fois les outils nécessaires en place.

Plusieurs façons de réaliser un même filtrage

Face à un cahier des charges de filtrage, l’ingénieur dispose de trois grandes voies technologiques :

Le filtre passif : constitué exclusivement de composants sans source d’énergie interne (résistances, condensateurs, inductances et transformateurs). Il ne consomme aucune alimentation auxiliaire, gère de très fortes puissances (même si les bobines à noyau magnétique peuvent saturer à fort courant) et ne nécessite pas de semi-conducteur, mais il ne peut pas amplifier le signal et ses bobines deviennent volumineuses aux basses fréquences.
Le filtre actif : il associe des résistances et condensateurs à un composant actif amplificateur (transistor ou amplificateur opérationnel). Il permet de réaliser de nombreux filtres sans bobine aux basses fréquences, d’ajuster le gain et de présenter une impédance d’entrée très élevée tout en offrant une impédance de sortie quasi-nulle.
Le filtre numérique : le signal analogique est échantillonné et numérisé par un CAN, puis transformé par des équations mathématiques dans un microcontrôleur, un DSP ou un FPGA, avant d’être restitué par un CNA.

Cette série est dédiée à l’art du filtrage : nous commençons ici par les bases physiques et les circuits passifs (Partie 1), avant d’explorer les structures actives à AOP (Partie 2), les grandes approximations polynomiales d’ordres élevés (Partie 3), puis les filtres à capacités commutées et numériques (Partie 4).

Une entrée, une sortie et une fonction de transfert

💡 Avertissement de lecture — Formalisme mathématique
Cette section pose le cadre théorique et mathématique rigoureux du filtrage (transformée de Laplace, variable opérationnelle $p$ , fonction de transfert, calcul des impédances complexes, pôles, zéros et relief 3D). Elle n’est pas strictement indispensable pour comprendre le fonctionnement concret et physique des circuits sur table, mais elle constitue le socle fondamental du traitement du signal et trouve naturellement sa place ici dans la progression logique.

Si vous préférez découvrir directement le comportement pratique des montages électroniques, vous pouvez sauter cette partie sans rompre la compréhension et vous rendre immédiatement à la section : Le filtre passe-bas du premier ordre : la cellule RC.

Dans cet article, nous nous plaçons dans le cadre des systèmes linéaires et invariants dans le temps (dits LTI). Pourquoi cette hypothèse est-elle si précieuse ? Parce que grâce au théorème de Fourier (Fourier, 1822 ; voir l’annexe en fin d’article), n’importe quel signal complexe — qu’il s’agisse de la voix humaine, d’un coup de cymbale ou d’un signal carré — peut se décomposer en une somme de sinusoïdes pures. Et la propriété fondamentale d’un système linéaire est celle-ci : une sinusoïde qui entre à une fréquence $f$ ressort à la même fréquence $f$ , simplement atténuée ou amplifiée et éventuellement décalée dans le temps. Le filtre ne fabrique aucune fréquence nouvelle. Conséquence directe : si nous savons comment le filtre traite chaque sinusoïde individuelle, nous savons comment il traite n’importe quel signal, puisque tout signal n’est qu’une somme de sinusoïdes.

C’est exactement ce qui cesse d’être vrai dans un système non linéaire (un amplificateur qui sature, une diode, un transistor hors de sa zone de fonctionnement) : là, une sinusoïde pure à 440 Hz peut engendrer des harmoniques à 880 Hz, 1 320 Hz, etc. qui n’existaient pas dans le signal d’entrée — c’est la distorsion harmonique. Dans un système linéaire, ce phénomène est par définition impossible.

Le comportement complet du filtre est résumé par sa fonction de transfert $H(p)$ (la formule qui indique comment le circuit transforme l’amplitude et la phase), qui relie la tension de sortie $V_s$ (l’indice $s$ pour sortie) à la tension d’entrée $V_e$ (l’indice $e$ pour entrée) dans le domaine opérationnel :

H(p)=\frac{V_s(p)}{V_e(p)} \qquad\Longleftrightarrow\qquad V_s(p) = H(p) \cdot V_e(p)

Schéma canonique d'un quadripôle linéaire et de sa fonction de transfert H(p) — **Fig. 5** — Schéma canonique d’un quadripôle linéaire et de sa fonction de transfert H(p)

Autrement dit, $H(p)$ est le rapport « ce qui sort » sur « ce qui entre ». Dans la littérature anglo-saxonne, les mêmes grandeurs sont notées $V_{\text{in}}$ (input, entrée) et $V_{\text{out}}$ (output, sortie), ou parfois $V_I$ et $V_O$ — attention à ne pas confondre le $I$ d’Input avec le courant $I$ , ni le $O$ d’Output avec le chiffre zéro.

Dans de nombreux ouvrages et formations francophones — notamment en France (BTS, BUT, écoles d’ingénieurs et automatique) — la variable complexe de Laplace est traditionnellement notée $p$ . La littérature anglophone emploie généralement $s$ , notation que l’on rencontre également de plus en plus dans les logiciels de simulation (SPICE, MATLAB) et les documents techniques traduits. Pourquoi faire appel à Laplace ? Parce qu’il transforme le calcul différentiel (les équations qui décrivent comment une grandeur varie d’instant en instant sous l’action des condensateurs et des bobines) en simple algèbre : à conditions initiales nulles, dériver un signal par rapport au temps (mesurer sa vitesse de variation instantanée) revient simplement à le multiplier par $p$ ( $\mathcal{L}\{\mathrm{d}x/\mathrm{d}t\} = pX(p)$ ), et intégrer (accumuler son effet au fil du temps) revient à le diviser par $p$ ( $\mathcal{L}\{\int_0^t x(\tau)\,\mathrm{d}\tau\} = X(p)/p$ ) !

Pour obtenir la réponse du circuit en régime sinusoïdal permanent (le régime permanent signifie que le signal oscille depuis suffisamment longtemps pour que toute phase transitoire soit éteinte) à la pulsation $\omega$ , nous évaluons sa fonction de transfert sur l’axe imaginaire en posant $p = j\omega$ , où :

$j$ représente l’unité imaginaire ( $j^2 = -1$ ), (notée $i$ en mathématiques mais $j$ en électronique, pour éviter toute confusion dramatique avec le courant électrique instantané $i(t)$ ) ;
$\omega$ (lettre grecque oméga minuscule) est la pulsation, exprimée en radians par seconde ( $\text{rad/s}$ ), directement reliée à la fréquence $f$ (en hertz, soit en cycles par seconde) par :

\omega=2\pi f

Pour une sinusoïde de pulsation $\omega > 0$ en régime permanent, l’opérateur d’intégration idéal $1/p$ devient $1/(j\omega) = -j/\omega$ : l’amplitude du résultat est divisée par la pulsation $\omega$ et sa phase subit un déphasage constant de $-90^\circ$ (un retard d’un quart de période, car $1/j = -j = e^{-j90^\circ}$ ). De même, l’opérateur de dérivation idéal $p$ devient $j\omega$ : l’amplitude est multipliée par $\omega$ et la phase subit un déphasage de $+90^\circ$ (une avance d’un quart de période, car $j = e^{+j90^\circ}$ ). Ces déphasages de $\pm 90^\circ$ sont stricts et constants pour les opérateurs mathématiques purs et les composants réactifs idéaux ( $C$ et $L$ ) ; dans un filtre complet associant résistances et condensateurs (comme notre cellule RC), la présence de la résistance fera varier la phase de manière continue et progressive de $0^\circ$ à $-90^\circ$ au fur et à mesure que la fréquence augmente.

Transformation d'un signal par un filtre linéaire : amplitude, déphasage et conservation de fréquence — **Fig. 6** — Transformation d’un signal par un filtre linéaire : amplitude, déphasage et conservation de fréquence

C’est exactement ainsi que l’on établit l’expression des impédances complexes, traditionnellement désignées par la lettre majuscule $Z$ (l’impédance étant la résistance généralisée qu’un composant oppose au passage du courant alternatif, indexée par le type de composant : $Z_C$ pour un condensateur, $Z_L$ pour une bobine d’inductance, et $Z_R = R$ pour une résistance) :

Z_C(p) = \frac{1}{pC} \quad\Longrightarrow\quad Z_C(j\omega) = \frac{1}{jC\omega} = -\frac{j}{C\omega}

Z_L(p) = pL \quad\Longrightarrow\quad Z_L(j\omega) = jL\omega

(Attention toutefois à fréquence nulle $\omega = 0$ : le facteur $1/(j\omega)$ tend vers l’infini. Une composante continue $0\ \text{Hz}$ intégrée ne produit pas une sinusoïde permanente, mais une rampe qui grandit indéfiniment avec le temps — c’est tout le piège de la dérive de l’intégrateur pur que nous verrons plus loin).

L’emploi de la pulsation $\omega$ simplifie grandement l’écriture de ces impédances en nous dispensant d’écrire le facteur $2\pi$ à chaque ligne de calcul.

Ne pas confondre résistance et impédance :

Une résistance pure $R$ (en ohms $\Omega$ ) s’oppose au passage du courant de la même manière quelle que soit la fréquence : elle dissipe irréversiblement l’énergie électrique sous forme de chaleur par effet Joule ( $P = R I^2$ ) et ne produit aucun déphasage entre tension et courant.
L’impédance complexe $Z = R + jX$ (en ohms \Omega) est le concept général qui englobe tous les composants. Sa partie imaginaire $X$ est appelée la réactance (l’opposition au courant alternatif qui stocke et restitue l’énergie sans la dissiper) :
- La réactance capacitive du condensateur ( $X_C = -\dfrac{1}{C\omega} < 0$ ) : elle stocke l’énergie sous forme de champ électrostatique et diminue à mesure que la fréquence augmente (retard de tension de $90^\circ$ ) ;
- La réactance inductive de la bobine ( $X_L = L\omega > 0$ ) : elle stocke l’énergie sous forme de champ magnétique et augmente proportionnellement avec la fréquence (avance de tension de $90^\circ$ ).

Contrairement à la résistance qui consomme de l’énergie, les réactances (capacitive et inductive) se contentent d’échanger périodiquement de l’énergie avec le circuit. Toute résistance est une impédance particulière (ayant une réactance nulle $X = 0$ ), mais toute impédance n’est pas une simple résistance.

On obtient alors la réponse harmonique en fréquence (ce que le filtre « répond » — en amplitude et en déphasage — quand on lui soumet une sinusoïde à chaque fréquence) :

H(j\omega)=|H(j\omega)|e^{j\varphi(\omega)}

Cette équation condense deux informations indispensables :

Le module $|H(j\omega)|$ — la « taille » du nombre complexe — indique le gain en tension : de combien le filtre atténue ou amplifie la sinusoïde.
L’argument $\varphi(\omega)$ (lettre grecque phi) — l’angle du nombre complexe — est le déphasage : l’avance ( $\varphi > 0$ ) ou le retard ( $\varphi < 0$ ) de la sortie par rapport à l’entrée.

Pour représenter commodément des variations d’amplitudes colossales (de 1 à 1 000 000) et coller à la sensibilité logarithmique de l’oreille humaine (la loi de Weber-Fechner et la psychoacoustique de l’audition : pour doubler la sensation sonore ressentie, il faut approximativement multiplier par dix la puissance acoustique, soit environ $+10\ \text{dB}$ — sujet passionnant que nous explorerons dans le dossier loudness), on exprime traditionnellement le gain en décibels ( $\text{dB}$ ) :

G_{\mathrm{dB}}(\omega)=20\log_{10}|H(j\omega)|

Pourquoi ce coefficient $20$ ? Parce que la puissance électrique transmise est proportionnelle au carré de la tension ( $P = V^2 / R$ ). Pour un rapport de tensions comparé à impédance identique — ou avec une impédance de référence constante — un module de $1/\sqrt{2} \approx 0{,}707$ correspond à une puissance divisée par deux, ce qui donne en décibels : $10\log_{10}(0{,}5) = 20\log_{10}(1/\sqrt{2}) \approx -3{,}01\ \text{dB}$ .

C’est ce que l’on appelle le point à $-3\ \text{dB}$ , parfois nommé point de mi-puissance. Ce second nom demande une précaution : une diminution de tension d’un facteur $1/\sqrt{2}$ correspond à une puissance divisée par deux uniquement lorsque les tensions sont comparées sur une même impédance de référence, ou sur des impédances identiques. Dans une courbe de gain en tension, le fait toujours valable est donc plus simplement celui-ci : le module vaut $1/\sqrt{2}\approx0{,}707$ de sa valeur de référence. La fréquence correspondant à ce point définit la fréquence de coupure ( $f_c$ ), qui sert de frontière conventionnelle à la bande passante.

Illustration du point à −3 dB sur la courbe de réponse d'un filtre passe-bas — **Fig. 7** — Illustration du point à −3 dB sur la courbe de réponse d’un filtre passe-bas

(Cette courbe de réponse est présentée ici à titre d’exemple introductif sur un filtre passe-bas simple pour matérialiser visuellement la frontière de coupure et la division de puissance. Le montage électronique correspondant, le calcul de sa fonction de transfert et sa courbe de phase seront expliqués en détail plus loin dans cet article).

L’ordre d’un filtre, les pôles et les zéros : les secrets de la fraction

Lorsque les ingénieurs calculent la fonction de transfert $H(p)$ d’un filtre (la formule vue plus haut qui donne le rapport « tension de sortie / tension d’entrée »), ils obtiennent toujours une fraction mathématique avec un numérateur en haut et un dénominateur en bas :

H(p) = \frac{\text{Numérateur}(p) \quad (\text{en haut})}{\text{Dénominateur}(p) \quad (\text{en bas})}

Cette fraction cache trois notions fondamentales qui dictent toute la personnalité du filtre :

L’ordre du filtre (combien de stockages d’énergie indépendants interviennent) :
L’ordre correspond au degré du polynôme situé au dénominateur (en bas) une fois la fraction simplifiée au maximum, après avoir éliminé les éventuels facteurs communs entre le numérateur et le dénominateur :
- Si la plus grande puissance est $p^1$ — soit simplement $p$ —, le filtre est du premier ordre : sa dynamique fait intervenir une seule variable indépendante de stockage d’énergie, comme celle d’un condensateur $C$ dans une cellule RC ou d’une bobine d’inductance $L$ dans un circuit RL ;
- Si la plus grande puissance est $p^2$ , le filtre est du second ordre : sa dynamique fait intervenir deux variables indépendantes de stockage d’énergie, comme celles de deux condensateurs dans deux cellules RC en cascade, ou celles d’une bobine $L$ et d’un condensateur $C$ dans un circuit RLC résonnant ;
- Si la plus grande puissance du dénominateur est $p^3, p^4 \dots$ , on parle de filtre du troisième ordre, du quatrième ordre, et ainsi de suite. Ces filtres sont souvent réalisés en pratique en associant plusieurs cellules du premier ou du second ordre.
Le nombre d’éléments réactifs indépendants fixe l’ordre maximal que le circuit peut atteindre. Son ordre effectif peut toutefois être inférieur selon leur interconnexion ou en cas de simplification entre le numérateur et le dénominateur.
Pour un filtre passe-bas classique « tout pôles », dont le numérateur est constant, chaque pôle apporte asymptotiquement une pente supplémentaire de $-20\ \text{dB/décade}$ , soit environ $-6\ \text{dB/octave}$ (exactement $-6{,}02\ \text{dB/octave}$ ). Un passe-bas d’ordre $n$ présente donc, à suffisamment haute fréquence, une pente asymptotique de $-20n\ \text{dB/décade}$ :
- Ordre 1 : $-20\ \text{dB/décade}$ , soit environ $-6\ \text{dB/octave}$ ;
- Ordre 2 : $-40\ \text{dB/décade}$ , soit environ $-12\ \text{dB/octave}$ ;
- Ordre 3 : $-60\ \text{dB/décade}$ , soit environ $-18\ \text{dB/octave}$ .
(Cette pente asymptotique n’est pas atteinte instantanément dès la fréquence de coupure $f_c$ , mais seulement lorsque la fréquence se trouve suffisamment au-delà des fréquences caractéristiques associées aux différents pôles).
Les pôles (là où le dénominateur s’annule) :
Que se passe-t-il si l’on cherche les valeurs particulières de $p$ qui rendent le dénominateur (en bas) égal à zéro ? Au point exact où le dénominateur s’annule, la fonction n’est pas définie. Mais lorsque $p$ s’approche de ce point, le dénominateur tend vers zéro et le module $|H(p)|$ tend vers l’infini : ce point est un pôle.
Pourquoi parle-t-on de « 3D » et pourquoi ce mot de « pôles » ?
La variable de Laplace $p$ est un nombre complexe qui possède deux coordonnées « au sol » (la partie réelle $\sigma$ et la partie imaginaire $\omega$ ), formant un plan 2D comme une feuille posée sur une table. Si l’on trace au-dessus de cette table une troisième dimension — l’altitude verticale — représentant la valeur du gain $|H(p)|$ , on obtient un véritable paysage en relief 3D.
Partout où le dénominateur s’annule, la surface ne reste pas plate : elle est tirée d’un coup vers le ciel pour former une pointe infiniment haute. En anglais, le mot pole désigne un mât de navire, un poteau ou un piquet de tente. Ces pics invisibles soutiennent toute la « toile » de la réponse du circuit, exactement comme des mâts sous un chapiteau de cirque !
Et lorsque nous testons notre filtre avec des sinusoïdes au laboratoire en régime permanent, nous marchons simplement le long de l’axe imaginaire $p = j\omega$ tracé dans le plan horizontal, c’est-à-dire le long de la ligne où $\sigma = 0$ : la courbe que nous traçons sur notre feuille n’est qu’une tranche (une coupe 2D) dans cette grande toile de tente. Si un mât est planté tout près de notre ligne de passage, la toile est soulevée très haut et fait surgir une bosse de résonance ; s’il est planté loin vers la gauche, la toile est douce et sans bosse. Ce sont donc ces pôles qui décident si le filtre est calme, rapide ou oscillant.
Les zéros (là où le numérateur s’annule) :
À l’inverse, si l’on trouve des valeurs de $p$ qui rendent le numérateur (en haut) égal à zéro, alors la fraction entière tombe à zéro ( $0 / \text{Dénominateur} = 0$ ).
Sur notre chapiteau 3D, la toile vient toucher directement le sol (formant un entonnoir ou un creux naturel qui descend jusqu’à l’altitude zéro $|H|=0$ , repéré par un petit cercle blanc au sol). Lorsque l’un de ces zéros est situé précisément sur notre ligne de mesure (l’axe imaginaire $p = \pm j\omega_0$ ), le signal d’entrée à cette fréquence est totalement bloqué et rien ne sort du filtre ( $V_s = 0$ ). Ces valeurs s’appellent tout naturellement des zéros. C’est le principe fondamental utilisé dans les filtres coupe-bande pour éliminer une fréquence parasite précise (comme le ronflement à 50 Hz du secteur). (Et si un zéro se trouve exactement à la même position qu’un pôle, leurs effets s’annulent mutuellement : la fraction se simplifie).

L’illustration ci-dessous prend comme exemple la fonction normalisée :

H(p) = \frac{p}{(p+1)^2 + 4}

Elle possède un zéro à l’origine $z_1 = 0$ : sur l’axe fréquentiel $p = j\omega$ , cela signifie que $H(j0) = 0$ , donc que la composante continue est bloquée. Ses deux pôles conjugués $p_{1,2} = -1 \pm j2$ produisent les deux pics du relief.

**Fig. 8** — Surface 3D du module d’une fonction de transfert illustrant deux pôles, un zéro à l’origine et six coupes à partie réelle constante

Lecture du relief : six coupes pour comprendre le comportement du gain

Pour bien visualiser comment ce relief 3D structure toute la réponse du filtre, le schéma présente six coupes parallèles tracées à partie réelle $\sigma$ constante :

\sigma = 0,\;-0{,}5,\;-0{,}8,\;-1,\;-1{,}2,\;-1{,}5

Ces tranches permettent d’observer l’évolution du profil au fur et à mesure que l’on se déplace dans le plan complexe :

$\sigma = 0$ (coupe ambre) : c’est notre monde physique usuel, la réponse harmonique $H(j\omega)$ mesurée au laboratoire en régime sinusoïdal permanent le long de l’axe imaginaire.
$\sigma = -0{,}5$ puis $\sigma = -0{,}8$ (coupes violette et magenta) : en glissant vers la gauche, on s’approche de la position des pôles. Les deux bosses commencent à s’élever nettement au-dessus du plan.
$\sigma = -1$ (coupe rouge corail) : la tranche passe exactement par l’abscisse des deux pôles conjugués ( $p_{1,2} = -1 \pm j2$ ). Lorsque $p$ s’approche de l’un des deux pôles, le module $|H(p)|$ tend vers l’infini. Au point exact du pôle, la fonction n’est plus définie ; les pics sont donc tronqués sur le graphique.
$\sigma = -1{,}2$ puis $\sigma = -1{,}5$ (coupes verte et bleue) : lorsqu’on continue d’avancer vers la gauche en dépassant les pôles, la surface redescend et les bosses s’aplatissent progressivement.

Pour la fonction normalisée représentée sur l’illustration, la formule du module rend cette géométrie immédiate :

|H(p)| = \frac{|p|}{|p-p_1|\,|p-p_2|}

En termes géométriques simples : chaque terme $|p - p_k|$ mesure la distance euclidienne entre le point de test $p$ et le pôle $p_k$ dans le plan complexe. Plus cette distance diminue, plus le dénominateur tend vers zéro et plus le gain $|H(p)|$ explose vers les hauteurs. À l’inverse, le terme $|p|$ au numérateur mesure la distance au zéro situé à l’origine ( $p = 0$ ), qui tire la toile directement au niveau du sol.

Et la phase ? Pourquoi le relief 3D ne montre pas tout

Ce paysage 3D représente exclusivement le module $|H(p)|$ (l’amplitude du signal). Il ne montre pas la phase $\arg H(p)$ (le déphasage entre la sortie et l’entrée). Or, la phase obéit à une dynamique géométrique différente : dépasser un pôle vers la gauche ne produit pas automatiquement un tour complet de phase.

Pour la contribution d’un pôle simple $p_k$ situé au dénominateur :

\arg\left(\frac{1}{p-p_k}\right) = -\arg(p-p_k)

La phase globale de la fonction de transfert complète résulte de la somme des phases de chaque zéro et pôle :

\arg H(p) = \arg K + \sum_i \arg(p-z_i) - \sum_k \arg(p-p_k)

Le comportement de la phase dépend alors étroitement de la trajectoire suivie autour de la singularité :

Si l’on traverse exactement le pôle en ligne droite : la fonction $H(p)$ est indéfinie au passage ( $1/0$ ) et la phase subit localement une discontinuité brutale de $180^\circ$ ( $\pi\text{ rad}$ ).
Si l’on contourne complètement le pôle (petite boucle fermée entourant uniquement ce pôle) : d’après le théorème de l’argument de Cauchy, le vecteur $(p - p_k)$ effectue une rotation complète de $+360^\circ$ , ce qui impose à sa contribution de phase un tour complet de $-360^\circ$ ( $-2\pi\text{ rad}$ ).
Si l’on passe simplement à gauche sans traverser le pôle : la phase évolue de manière parfaitement continue, d’une quantité finie qui dépend de la distance et du trajet précis emprunté.

Le schéma 3D ne montrant que la hauteur $|H(p)|$ , une seconde représentation graphique — telle qu’une carte de phase colorée (domain coloring) ou une surface d’argument $\arg H(p)$ — serait nécessaire pour visualiser ce comportement angulaire dans le plan complexe.

Le filtre passe-bas du premier ordre : la cellule RC

Pour comprendre la mécanique intime d’un filtre, commençons par le montage le plus simple et le plus universel qui soit : une résistance $R$ suivie d’un condensateur $C$ .

**Fig. 9** — Cellule RC passe-bas suivie d’un AOP monté en suiveur

Ce circuit forme un diviseur de tension élémentaire (deux composants en série entre lesquels la tension d’entrée se répartit en fonction de la fréquence, proportionnellement à leurs impédances respectives). Mais alors qu’un diviseur normal constitué de deux résistances divise la tension de manière constante quelle que soit la fréquence, ici, l’une des deux branches est constituée d’un composant dont l’impédance — opposition complexe au passage du courant alternatif, caractérisée par un module et une phase — dépend de la pulsation ( $\omega = 2\pi f$ ) :

Z_C=\frac{1}{jC\omega}

Voyons ce qui se passe physiquement :

En continu ( $f = 0\ \text{Hz}$ , $\omega = 0$ ) : le diélectrique isolant du condensateur est une barrière infranchissable. Son impédance est infinie ( $Z_C \to \infty$ ), il se comporte comme un circuit ouvert. Aucun courant ne circule dans la résistance $R$ , la chute de tension à ses bornes est nulle : la totalité de la tension d’entrée se retrouve sur la sortie ( $V_s = V_e$ , le gain vaut $1$ , soit $0\ \text{dB}$ ).
Aux très hautes fréquences ( $f \to \infty$ ) : le condensateur se charge et se décharge à une vitesse extrême. Son impédance s’effondre ( $Z_C \to 0$ ), il devient l’équivalent d’un court-circuit vers la masse. La tension de sortie est écrasée vers zéro.

En appliquant la formule du diviseur de tension (étudiée en détail dans le cours Module 1, Leçon 05 — Résistances en série et en parallèle) :

V_s=V_e\frac{Z_C}{R+Z_C}

d’où la fonction de transfert harmonique :

H(j\omega)=\frac{V_s}{V_e}=\frac{\dfrac{1}{jC\omega}}{R+\dfrac{1}{jC\omega}}=\frac{1}{1+jRC\omega}

et, dans le domaine de Laplace :

H(p)=\frac{1}{1+pRC}

La forme canonique générale (forme canonique = écriture mathématique standardisée universelle qui fait apparaître directement les grandeurs physiques clés : gain statique, fréquence de coupure et constante de temps) d’un filtre passe-bas du premier ordre s’écrit :

H(p)=\frac{k\omega_c}{p+\omega_c} = \frac{k}{1 + \dfrac{p}{\omega_c}}

où :

$k$ est le gain statique (le gain mesuré en continu, à fréquence nulle $f = 0\ \text{Hz}$ — ici $k=1$ pour notre cellule passive, ce qui signifie que le signal continu traverse le circuit sans aucune atténuation, soit $0\ \text{dB}$ ) ;
$\omega_c$ est la pulsation de coupure (exprimée en $\text{rad/s}$ ), directement inverse de la constante de temps $\tau = RC$ (le temps caractéristique de charge du condensateur à travers la résistance : $\tau = RC$ ) ;
$f_c$ est la fréquence de coupure (exprimée en $\text{Hz}$ ), qui constitue le repère conventionnel séparant la bande passante de la bande atténuée et correspond à l’abscisse du point à $-3\ \text{dB}$ découvert dans l’introduction :

\omega_c = \frac{1}{RC} = \frac{1}{\tau} \qquad ; \qquad f_c = \frac{\omega_c}{2\pi} = \frac{1}{2\pi RC}

**Fig. 10** — Gain et phase d’un passe-bas RC du premier ordre

Examinons ce qui se produit précisément à cette fréquence de coupure $f = f_c$ (au point à $-3\ \text{dB}$ , où $\omega = \omega_c = 1/RC$ ) :
À cette pulsation, la partie réelle et la partie imaginaire du dénominateur sont rigoureusement égales ( $1 + j1$ ). Le module de la fonction de transfert vaut :

|H(j\omega_c)|=\frac{1}{|1+j1|}=\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt2}\approx0{,}707

ce qui correspond exactement au point à $-3{,}01\ \text{dB}$ . Sur une même impédance de référence, ce rapport de tensions correspond aussi à une puissance divisée par deux.
Sur le plan du déphasage, l’angle de $1+j1$ valant $+45^\circ$ au dénominateur, la phase de sortie vaut exactement $-45^\circ$ dans le modèle idéal (retard d’un huitième de période).

En résumé, la réponse d’un passe-bas du premier ordre se découpe en trois zones :

Pour $f \ll f_c$ (bande passante) : le gain reste proche de $1$ ( $0\ \text{dB}$ ) et la phase est quasi-nulle.
À la fréquence de coupure $f = f_c$ (le point à $-3\ \text{dB}$ ) : le gain vaut $-3{,}01\ \text{dB}$ par rapport au plateau de la bande passante et la phase vaut $-45^\circ$ .
Pour $f \gg f_c$ (bande atténuée) : le gain chute en ligne droite avec une pente asymptotique de $-20\ \text{dB/décade}$ (soit $-6\ \text{dB/octave}$ ), et le déphasage tend asymptotiquement vers $-90^\circ$ (un quart de période de retard).

Remarque sur le montage : L’AOP monté en suiveur sur le schéma ne participe pas au filtrage lui-même. Il joue le rôle d’un étage tampon (buffer) : son impédance d’entrée gigantesque ne perturbe pas la charge du condensateur, et son impédance de sortie quasi-nulle permet d’attaquer l’étage suivant sans dégrader le signal.

Du point à « −3 dB » au gabarit de tolérance

Nous venons de voir que le point à $-3\ \text{dB}$ (et la fréquence de coupure $f_c$ associée) est le repère principal d’un filtre. C’est pratique au laboratoire, mais en pratique industrielle, ce seul chiffre ne suffit pas. Prenons un exemple concret : un filtre passe-bas placé avant un convertisseur analogique-numérique qui échantillonne à $48\ \text{kHz}$ . On veut conserver la musique jusqu’à $20\ \text{kHz}$ sans la déformer, et on veut que tout ce qui dépasse $24\ \text{kHz}$ soit suffisamment atténué pour ne pas perturber la numérisation. Le seul point à $-3\ \text{dB}$ ne dit rien de tout cela : il ne dit ni combien on tolère de déformation dans la bande utile, ni combien il faut écraser au-dessus.

Pour exprimer ces exigences, on utilise un gabarit de tolérance : un dessin qui fixe graphiquement les frontières et les zones interdites que la réponse d’un filtre n’a pas le droit de franchir. Ce principe est universel et s’applique à toutes les familles de filtres (passe-bas, passe-haut, passe-bande, réjecteur). Quel que soit le filtre, le gabarit découpe le spectre en trois grands types de domaines :

La bande passante (la plage de fréquences utiles à transmettre avec une altération minimale) : elle est délimitée par ses fréquences caractéristiques — par exemple entre les fréquences $f_1$ et $f_2$ pour un filtre passe-bande, de $0$ à une fréquence $f_1$ pour un passe-bas, ou de $f_1$ à l’infini pour un passe-haut. Dans cette bande, le gain doit rester compris entre le niveau nominal ( $0\ \text{dB}$ ) et un plancher noté $-A_p$ (l’atténuation ou ondulation maximale tolérée dans la bande passante, par exemple $A_p = 0{,}5\ \text{dB}$ ).
La bande atténuée (la plage de fréquences indésirables à éliminer) : elle se situe en dehors de la bande utile (par exemple au-delà d’une fréquence $f_2$ pour un passe-bas, en deçà d’une fréquence $f_1$ pour un passe-haut, ou de part et d’autre de $[f_1, f_2]$ pour un passe-bande). Le gain doit y rester inférieur ou égal à un plafond noté $-A_a$ (l’atténuation minimale exigée, par exemple $A_a = 60\ \text{dB}$ , soit une division par 1 000 de la tension).
La bande de transition (l’intervalle intermédiaire qui sépare la bande passante de la bande atténuée) : c’est la zone où le filtre bascule de « laisser passer » à « bloquer ». Dans cette présentation limitée au gabarit d’amplitude, aucune forme précise n’est imposée entre ses deux frontières : différentes réponses peuvent convenir, à condition de respecter encore la tolérance $A_p$ jusqu’à la fréquence $f_p$ , puis d’avoir atteint l’atténuation minimale $A_a$ à partir de la fréquence $f_a$ .

**Fig. 11** — Gabarit de tolérance d’un filtre passe-bas montrant plusieurs réponses en fréquence admissibles

Prenons le cas classique d’un filtre passe-bas (illustré ci-dessus) :

La fréquence limite de la bande passante $f_1$ est traditionnellement notée $f_p$ (passband) ;
La fréquence marquant le début de la bande atténuée $f_2$ est notée $f_a$ (attenuation) ;
La bande de transition s’étend donc entre $f_p$ et $f_a$ .

Un gabarit ne définit donc pas une courbe de réponse unique. Les trois tracés représentés sur le graphique ci-dessus ont des allures très différentes (l’un progressif, l’autre plus raide, le troisième légèrement ondulé), mais ils sont tous admissibles : aucun ne pénètre dans les zones interdites hachurées en rouge. Le gabarit indique ce qui est acceptable sans imposer, à lui seul, la technologie, l’ordre ni l’approximation mathématique utilisés pour l’obtenir.

L’ordre du filtre contraint pourtant bien la descente : loin de la bande de transition, un passe-bas tout-pôles (sans zéro de transmission) d’ordre $n$ tend vers une pente de $-20n\ \text{dB/décade}$ . Il ne suffit cependant pas à fixer la forme exacte de la courbe entre $f_p$ et $f_a$ . À ordre égal, les approximations de Butterworth, de Chebyshev, de Bessel ou elliptique (différentes familles mathématiques de réponses) ne plongent pas de la même manière. Dans une synthèse classique (le calcul du filtre à partir des performances demandées), on choisit donc une approximation, puis on détermine l’ordre minimal qui permet de respecter le gabarit. Si le cahier des charges impose lui-même un ordre, celui-ci devient une contrainte supplémentaire.

Dans notre exemple audio de numérisation à $48\ \text{kHz}$ , le cahier des charges exigerait concrètement : une déformation inférieure à $A_p = 0{,}5\ \text{dB}$ jusqu’à la fréquence $f_1 = f_p = 20\ \text{kHz}$ , et une atténuation d’au moins $A_a = 60\ \text{dB}$ dès la fréquence $f_2 = f_a = 24\ \text{kHz}$ . Le seul point à $-3\ \text{dB}$ reste un repère d’étude commode, mais ce sont ces quatre paramètres cardinaux $(f_1, A_p, f_2, A_a)$ qui définissent le gabarit d’amplitude. Le cahier des charges complet peut en ajouter d’autres, comme un ordre maximal, une contrainte de déphasage (la modification du calage temporel des fréquences), un retard de groupe (le délai subi par l’enveloppe du signal), des impédances d’entrée et de sortie, une technologie ou un coût.

Le filtre passe-haut du premier ordre : la cellule CR

Que se passe-t-il si nous inversons la position de la résistance et du condensateur ?

**Fig. 12** — Cellule CR passe-haut suivie d’un AOP monté en suiveur

Cette fois-ci, le condensateur est placé en série directement sur le chemin du signal, et la sortie est mesurée aux bornes de la résistance $R$ .

Physiquement, la situation est inversée :

En continu ( $f=0$ ), le condensateur bloque totalement le courant continu : la tension de sortie est nulle ( $V_s = 0$ ).
À haute fréquence, le condensateur se laisse traverser sans opposer de résistance ( $Z_C \to 0$ ) : la totalité du signal se retrouve aux bornes de $R$ ( $V_s \approx V_e$ ).

La fonction de transfert harmonique s’obtient immédiatement :

H(j\omega)=\frac{R}{R+\dfrac{1}{jC\omega}} =\frac{jRC\omega}{1+jRC\omega}

Dans le domaine de Laplace :

H(p)=\frac{pRC}{1+pRC}=\frac{p}{p+\omega_c}

Le comportement est le parfait symétrique du passe-bas :

À la fréquence de coupure $f = f_c$ (le point à $-3\ \text{dB}$ ), le module du gain vaut $1/\sqrt{2}$ (soit $-3{,}01\ \text{dB}$ ), et la phase présente une avance de $+45^\circ$ .
Pour $f \ll f_c$ , le gain augmente avec une pente de $+20\ \text{dB/décade}$ , et la phase tend vers $+90^\circ$ lorsque $f \to 0^+$ .
Pour $f \gg f_c$ , le gain tend vers $1$ ( $0\ \text{dB}$ ) et le déphasage s’annule ( $0^\circ$ ).

Pourquoi deux cellules identiques ne s’additionnent pas simplement

Une fois que nous maîtrisons la cellule élémentaire du premier ordre et sa pente de $-20\ \text{dB/décade}$ , une idée vient naturellement à l’esprit de tout électronicien : si une cellule atténue de $-20\ \text{dB/décade}$ , il suffirait d’en mettre deux identiques l’une derrière l’autre pour obtenir immédiatement $-40\ \text{dB/décade}$ et doubler la raideur de la coupure.

Essayons. Câblons deux cellules $R-C$ identiques en cascade directe.

**Fig. 13** — Deux cellules RC identiques raccordées directement en cascade, sans tampon

À la mesure et au calcul, le résultat réserve une déconvenue : la pente finale atteint bien $-40\ \text{dB/décade}$ aux très hautes fréquences, mais le comportement au voisinage de la coupure est très décevant. La transition est molle, écrasée, et l’atténuation commence beaucoup trop tôt dans la bande passante.

Pourquoi ? Parce que notre intuition reposait sur l’hypothèse implicite que chaque cellule fonctionnait de manière isolée et indépendante. Or, dès que nous relions directement la seconde cellule à la première, la résistance $R_2$ et le condensateur $C_2$ viennent consommer un courant non négligeable sur la première cellule. La seconde cellule « tire » sur la première et écroule sa tension. Nous venons de nous heurter de plein fouet au problème universel de l’effet de charge et de l’adaptation d’impédance.

Le point de vue de Thévenin : autopsie de l’effet de charge

💡 Avertissement de lecture — Démonstration mathématique de l’effet de charge
Les paragraphes qui suivent détaillent le calcul analytique rigoureux (modèle équivalent de Thévenin, impédances complexes et théorème de Millman) qui démontre précisément d’où surgit le terme d’interaction parasite $R_1 C_2$ .

Si vous préférez retenir directement le résultat physique et passer aux solutions concrètes sans parcourir les équations, vous pouvez sauter cette démonstration et vous rendre immédiatement à la synthèse : En conclusion : la règle d’or de la cascade passive.

Pour comprendre exactement où s’échappe l’énergie, utilisons le théorème de Thévenin (étudié en détail dans le cours Module 2, Leçon 05 — Les théorèmes de Thévenin et de Norton). Vu de ses bornes de sortie, le premier étage se comporte comme un générateur imparfait possédant une tension à vide et une impédance interne $Z_{th}$ :

**Fig. 14** — Modèle de Thévenin et effet de la charge

La figure de Thévenin ci-dessus reste volontairement générale : ses impédances $Z_1$ , $Z_2$ et $Z_e$ représentent n’importe quel diviseur chargé. Revenons donc au schéma réel des deux cellules RC en cascade présenté juste avant cette section. Dans sa première cellule, $Z_1$ correspond à la résistance $R_1$ , $Z_2$ à l’impédance du condensateur $C_1$ , soit $1/(pC_1)$ , et la charge $Z_e$ à l’impédance d’entrée de la seconde cellule, soit $R_2 + 1/(pC_2)$ . Nous employons ici la variable de Laplace $p$ parce que nous calculons la fonction de transfert générale $H(p)$ . Pour étudier la réponse harmonique à la pulsation $\omega$ , il suffit ensuite de poser $p=j\omega$ : l’impédance du condensateur redevient alors $Z_C=1/(jC\omega)$ .

Pour déterminer l’impédance interne de Thévenin du premier étage, la source idéale de tension est remplacée par un court-circuit. La transformation complète est représentée ci-dessous, sans sauter d’étape :

Calcul en trois étapes de l'impédance de Thévenin d'une cellule RC : circuit d'origine, source de tension remplacée par un court-circuit, puis résistance et condensateur redessinés en parallèle — **Fig. 15** — Calcul en trois étapes de l’impédance de Thévenin d’une cellule RC : circuit d’origine, source de tension remplacée par un court-circuit, puis résistance et condensateur redessinés en parallèle

Dans le schéma intermédiaire, la borne gauche de $R_1$ est reliée à la masse par le court-circuit qui remplace la source. Elle rejoint donc le même nœud que la borne inférieure de $C_1$ . Le dernier schéma ne modifie aucune connexion : il redessine simplement le circuit pour rendre visibles les deux branches parallèles entre la sortie du premier étage et la masse. Cette impédance interne vaut :

Z_{th}=R_1\parallel\frac{1}{pC_1} =\frac{R_1}{1+pR_1C_1}

Lorsque nous raccordons la deuxième cellule ( $R_2, C_2$ ), son impédance d’entrée vient se connecter en série avec $Z_{th}$ . Elles forment un diviseur de tension supplémentaire imprévu qui modifie profondément la dynamique de l’ensemble.

Pour calculer rigoureusement le potentiel au nœud intermédiaire sans poser un lourd système d’équations, nous utilisons le théorème de Millman (étudié en détail dans le cours Module 2, Leçon 05 — Les théorèmes de Thévenin et de Norton).

Ce théorème, publié par Jacob Millman en 1940 (Millman, 1940), est la formulation directe de la loi des nœuds en termes de potentiels électriques. Lorsque $n$ branches ( $k = 1, 2 \dots n$ ) convergent vers un même nœud $M$ , chacune apportant un potentiel $V_k$ à travers une impédance $Z_k$ (ou une admittance $Y_k = 1/Z_k$ ), le potentiel électrique $V_M$ de ce nœud s’exprime directement comme la moyenne pondérée de tous les potentiels voisins :

V_M = \frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{V_k}{Z_k}}{\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{Z_k}} = \frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n Y_k \cdot V_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^n Y_k}

où chaque terme a une signification physique directe :

$V_M$ est le potentiel électrique au nœud $M$ recherché (en volts $\text{V}$ ) ;
$\sum_{k=1}^n$ (lettre grecque sigma majuscule) est le symbole de la somme : il indique d’additionner les contributions de toutes les branches raccordées au nœud, de la branche $k = 1$ jusqu’à la branche $k = n$ ;
$n$ est le nombre total de branches reliées au nœud (ici $n = 3$ branches pour notre nœud intermédiaire) ;
$V_k$ est le potentiel électrique à l’autre extrémité de la branche numéro $k$ (la tension d’entrée $V_e$ , la masse $0\ \text{V}$ , ou le potentiel de sortie $V_s$ ) ;
$Z_k$ est l’impédance complexe de la branche numéro $k$ (en ohms $\Omega$ ) qui s’oppose au passage du courant (par exemple $R_1$ , $R_2$ , ou $Z_{C1} = 1/(pC_1)$ ) ;
$Y_k = \dfrac{1}{Z_k}$ est l’admittance de la branche numéro $k$ (admittance = facilité avec laquelle un composant laisse passer le courant alternatif, inverse exact de l’impédance $Y = 1/Z$ , exprimée en siemens $\text{S}$ , notée $G_k = 1/R_k$ pour une simple résistance) : plus une impédance est faible, plus son admittance est grande ;
Le numérateur (en haut, $\sum Y_k V_k = \sum \dfrac{V_k}{Z_k}$ ) représente la somme des courants que chaque branche injecterait vers le nœud ( $I = V/Z$ ) ;
Le dénominateur (en bas, $\sum Y_k = \sum \dfrac{1}{Z_k}$ ) représente la somme de toutes les admittances branchées au nœud (sa conductance totale).

💡 L’image intuitive de la moyenne pondérée :
La formule de Millman fonctionne exactement comme le calcul d’une moyenne scolaire avec coefficients :

Les tensions extérieures $V_k$ sont les notes ;

Les admittances $Y_k = 1/Z_k$ sont les coefficients de chaque note.
Plus une branche a une résistance faible (forte admittance, gros coefficient), plus elle « tire » le potentiel du nœud $V_M$ vers sa propre tension. Une branche coupée ( $Z = \infty$ ) a un coefficient nul ( $Y = 0$ ) et n’influence pas le nœud ; un court-circuit ( $Z = 0$ ) a un coefficient infini et impose immédiatement sa tension.

Appliquons cette formule au nœud intermédiaire de potentiel $V_1$ situé entre les deux cellules :

La branche d’entrée apporte le potentiel $V_e$ à travers la résistance $R_1$ (terme $V_e / R_1$ ) ;
La branche centrale est reliée à la masse ( $0\ \text{V}$ ) à travers le condensateur $C_1$ d’impédance $Z_{C1} = 1/(pC_1)$ (terme $0 / Z_{C1} = 0$ ) ;
La branche de sortie est reliée au potentiel $V_s$ à travers la résistance $R_2$ (terme $V_s / R_2$ ).

La formule de Millman donne directement :

V_1 = \frac{\dfrac{V_e}{R_1} + \dfrac{0}{Z_{C1}} + \dfrac{V_s}{R_2}}{\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{Z_{C1}} + \dfrac{1}{R_2}} = \frac{\dfrac{V_e}{R_1} + \dfrac{V_s}{R_2}}{\dfrac{1}{R_1} + pC_1 + \dfrac{1}{R_2}}

Associé au diviseur de tension du second étage ( $V_s = V_1 \cdot \dfrac{Z_{C2}}{R_2 + Z_{C2}} = \dfrac{V_1}{1 + pR_2C_2}$ ), la fonction de transfert globale des deux cellules passives interconnectées devient :

H(p)=\frac{1}{1+(R_1C_1+R_2C_2+R_1C_2)p+R_1R_2C_1C_2p^2}

Regardez attentivement le coefficient du premier ordre au dénominateur : à côté des constantes de temps individuelles $R_1C_1$ et $R_2C_2$ , un terme croisé indésirable est apparu : $R_1C_2$ . C’est la signature mathématique directe de l’interaction entre les deux étages.

Pour des composants identiques ( $R_1 = R_2 = R$ et $C_1 = C_2 = C$ ), l’équation devient :

H(p)=\frac{1}{1 + 3RCp + (RC)^2 p^2}

Le terme du milieu vaut $3RC$ au lieu des $2RC$ espérés pour deux étages indépendants !
Conséquence directe sur le facteur d’amortissement : $\xi = 1{,}5$ , soit un facteur de qualité minuscule $Q = 1/3 \approx 0{,}333$ . Le filtre est lourdement sur-amorti par sa propre charge : son coude d’atténuation s’arrondit prématurément, provoquant une atténuation sensible bien avant la pulsation $\omega_0=1/RC$ .

En conclusion : la règle d’or de la cascade passive

Pourquoi deux cellules identiques ne s’additionnent-elles donc pas simplement ?

Parce qu’un circuit passif n’est pas un système isolé : la seconde cellule consomme du courant sur la première, modifiant le diviseur de tension et introduisant un terme d’interaction croisé indésirable ( $R_1 C_2$ ).

🎯 La règle fondamentale de la cascade : avant de multiplier les fonctions de transfert de deux étages directement interconnectés, il faut vérifier leur interaction. Le produit $H_{\text{total}}(p)=H_1(p)\,H_2(p)$ est exact lorsque chaque fonction de transfert tient déjà compte de sa charge réelle, ou lorsque l’étage suivant ne charge pas sensiblement le précédent. Pour les deux cellules RC directement raccordées que nous venons d’étudier, multiplier leurs fonctions de transfert calculées à vide serait faux : l’effet de charge abaisse le facteur de qualité de $Q=0{,}500$ à $Q=0{,}333$ et arrondit prématurément le coude d’atténuation.

Comment s’affranchir de l’effet de charge : solutions passives et actives

Face à cette dégradation inévitable de la cascade passive directe, l’ingénieur dispose de deux grandes voies : l’astuce passive par échelonnement d’impédances, ou la solution active par étage tampon.

1. La solution passive : l’échelonnement des impédances

Pour limiter l’interaction sans recourir à un composant actif, l’astuce classique consiste à échelonner les impédances : on choisit pour le second étage une résistance beaucoup plus grande et un condensateur proportionnellement plus faible, par exemple dans un rapport de 10 :

R_2=10R_1 \qquad ; \qquad C_2=\frac{C_1}{10}

Par exemple, pour fixer la fréquence propre de référence à $f_0 \approx 1{,}59\ \text{kHz}$ ( $\tau = 0{,}1\ \text{ms}$ , sachant que les coupures réelles à $-3\ \text{dB}$ seront de $596\ \text{Hz}$ en 1:1, $956\ \text{Hz}$ en 1:10 et $1{,}024\ \text{kHz}$ avec AOP) :

Premier étage : $R_1 = 1\ \text{k}\Omega$ et $C_1 = 100\ \text{nF}$ ( $\tau_1 = 10^3 \times 100\cdot 10^{-9} = 0{,}1\ \text{ms}$ ) ;
Second étage : $R_2 = 10\ \text{k}\Omega$ ( $\times 10$ ) et $C_2 = 10\ \text{nF}$ ( $\div 10$ ) ( $\tau_2 = 10^4 \times 10\cdot 10^{-9} = 0{,}1\ \text{ms}$ ).

Échelonnement des impédances dans une cascade passive de deux cellules RC : valeurs de composants et comparaison d'amortissement — **Fig. 16** — Échelonnement des impédances dans une cascade passive de deux cellules RC : valeurs de composants et comparaison d’amortissement

Les deux constantes de temps restent rigoureusement identiques ( $\tau_2 = \tau_1 = \tau$ ). Mais regardons ce qui arrive au terme croisé parasite dans la formule générale établie par Millman :

R_1 C_2 = (1\ \text{k}\Omega) \times (10\ \text{nF}) = 0{,}01\ \text{ms} = \mathbf{0{,}1 \cdot \tau}

Le dénominateur de la fonction de transfert devient alors :

D(p) = 1 + (1 + 1 + 0{,}1)\tau p + \tau^2 p^2 = 1 + \mathbf{2{,}1 \tau p} + \tau^2 p^2

Le terme du milieu ne vaut plus $3{,}0\tau$ mais seulement $2{,}1\tau$ !
Le coefficient d’amortissement chute à $\xi \approx 1{,}05$ , et le facteur de qualité remonte à $Q = 1/2{,}1 \approx 0{,}476$ : le filtre récupère $95{,}2\,\%$ du facteur de qualité d’un étage tamponné idéal ( $Q = 0{,}500$ , soit $93{,}3\,\%$ de sa bande passante à $-3\ \text{dB}$ ), sans ajouter le moindre amplificateur opérationnel ni rail d’alimentation.

Cette méthode passive élégante présente toutefois des limites physiques bien réelles en pratique :

Augmenter démesurément les résistances ( $R_2$ ) accroît le bruit thermique de Johnson ( $e_n = \sqrt{4kTR\Delta f}$ ) et rend le circuit très vulnérable aux courants de fuite et aux parasites électromagnétiques environnants.
Diminuer démesurément les condensateurs ( $C_2$ ) rend le filtre sensible aux capacités parasites du circuit imprimé et des composants voisins.

En résumé : pourquoi l’échelonnement d’impédances réussit là où la cascade identique échoue

Tout s’explique par le rapport entre l’impédance de sortie du premier étage et l’impédance d’entrée du second :

**Fig. 17** — Comparaison des impédances entre cascade identique et cascade échelonnée

Dans la cascade identique (rapport 1:1) : le second étage présente une impédance d’entrée de $1\ \text{k}\Omega$ , identique à l’impédance de sortie du premier étage ( $1\ \text{k}\Omega$ ). C’est comme brancher une charge trop lourde sur une petite source : le second étage « pompe » du courant, écroule la tension intermédiaire $V_1$ et affaisse prématurément le coude du filtre ( $Q = 0{,}333$ ).
Dans la cascade échelonnée (rapport 1:10) : en multipliant la résistance par 10 ( $10\ \text{k}\Omega$ ) et en divisant la capacité par 10 ( $10\ \text{nF}$ ), la constante de temps reste identique, mais le second étage devient 10 fois plus résistant à traverser. Le terme croisé d’interaction $R_1 C_2$ est ramené à seulement $0{,}1\tau$ (10 % de sa valeur initiale) : l’effet de charge sur le premier étage est drastiquement réduit, la tension intermédiaire $V_1$ est remarquablement préservée et l’atténuation parasite est presque entièrement éliminée ( $Q = 0{,}476$ ).

Sur le plan fréquentiel, cette réduction de l’effet de charge se traduit directement sur les courbes de Bode : là où la cascade identique voyait son point à $-3\ \text{dB}$ s’effondrer à $0{,}374 f_0$ , l’échelonnement le repousse à $0{,}601 f_0$ (un élargissement de $+60{,}5\,\%$ de bande passante utile !) tout en réduisant l’atténuation à $f_0$ à seulement $-6{,}44\ \text{dB}$ au lieu de $-9{,}54\ \text{dB}$ :

**Fig. 18** — Comparaison des réponses en fréquence de Bode : cascade passive identique vs cascade échelonnée 1:10

⚖️ Le compromis physique à retenir :
L’échelonnement d’impédances est une astuce passive remarquable et sans composant actif, mais elle a une contrepartie inévitable : l’impédance de sortie globale du filtre est désormais de $10\ \text{k}\Omega$ au lieu de $1\ \text{k}\Omega$ . Le filtre est devenu lui-même plus fragile face au circuit suivant qui viendra se brancher sur sa sortie $V_{\text{out}}$ .
C’est précisément pour briser ce compromis que l’on passe à la solution active.

2. La solution active : l’étage tampon suiveur à AOP (découplage idéal)

Dans les architectures électroniques modernes, la solution universelle consiste à insérer entre les deux cellules un amplificateur opérationnel monté en suiveur de tension (gain $\times 1$ ) :

H(p)=H_1(p) \cdot H_2(p) =\frac{1}{(1+pR_1C_1)(1+pR_2C_2)}

Dans le modèle idéal, l’AOP suiveur présente une impédance d’entrée infinie (il ne consomme aucun courant sur la première cellule, annulant l’effet de charge) et une impédance de sortie nulle (dans le modèle idéal, il attaque la seconde cellule comme un générateur de tension parfait). Le terme croisé d’interaction disparaît alors rigoureusement et la fonction de transfert globale devient le produit exact des deux cellules indépendantes : $H(p) = H_1(p) \cdot H_2(p)$ .

**Fig. 19** — Deux cellules RC isolées par un AOP suiveur et comparaison avec la cascade passive directe

Pour deux cellules identiques isolées par un tampon suiveur, on obtient un amortissement critique idéal : $\xi = 1{,}0$ et $Q = 0{,}500$ . L’indépendance des deux cellules est restaurée, mais leur atténuation se cumule : à la fréquence propre $f_0$ des cellules élémentaires, chacune vaut $-3{,}01\ \text{dB}$ et l’ensemble vaut $-6{,}02\ \text{dB}$ . La fréquence de coupure (le point à $-3\ \text{dB}$ ) du filtre complet se trouve donc plus bas, à environ $0{,}644f_0$ , avant que la pente tende asymptotiquement vers $-40\ \text{dB/décade}$ .

**Fig. 20** — Comparaison des 3 réponses en fréquence de Bode : cascade passive identique, cascade échelonnée et cascade active avec AOP

Synthèse comparative des trois architectures de second ordre ( $f_0 = 1\ 000\ \text{Hz}$ )

Cascade passive identique (rapport 1:1) :
- Facteur de qualité : $Q = 0{,}333$ (sur-amorti, $\xi = 1{,}5$ ).
- Point à $-3\ \text{dB}$ (coupure réelle) : $f_c = 0{,}374\ f_0 = \mathbf{374\ \text{Hz}}$ (la bande passante utile est amputée de $62{,}6\,\%$ ).
- Atténuation à la fréquence propre $f_0$ : $-9{,}54\ \text{dB}$ (tension résiduelle $V_{\text{out}} = 0{,}333\ \text{V}$ pour $1\ \text{V}$ en entrée).
- Bilan : ❌ Effet de charge maximal, le filtre s’effondre prématurément.
Cascade passive échelonnée (rapport 1:10) :
- Facteur de qualité : $Q = 0{,}476$ (quasi-critique, $\xi = 1{,}05$ ).
- Point à $-3\ \text{dB}$ (coupure réelle) : $f_c = 0{,}601\ f_0 = \mathbf{601\ \text{Hz}}$ ( $+60{,}5\,\%$ de bande passante utile récupérée).
- Atténuation à la fréquence propre $f_0$ : $-6{,}44\ \text{dB}$ (tension résiduelle $V_{\text{out}} = 0{,}476\ \text{V}$ ).
- Bilan : ⚖️ Excellent compromis passif sans composant actif, mais impédance de sortie plus élevée ( $10\ \text{k}\Omega$ ).
Cascade active avec AOP suiveur (découplage parfait) :
- Facteur de qualité : $Q = 0{,}500$ (amortissement critique idéal, $\xi = 1{,}0$ ).
- Point à $-3\ \text{dB}$ (coupure réelle) : $f_c = 0{,}644\ f_0 = \mathbf{644\ \text{Hz}}$ ( $+72\,\%$ de bande passante utile maximale).
- Atténuation à la fréquence propre $f_0$ : $-6{,}02\ \text{dB}$ (tension résiduelle $V_{\text{out}} = 0{,}500\ \text{V}$ ).
- Bilan : ✅ Découplage idéal : bande passante optimale, zéro perte parasite et impédance de sortie nulle dans le modèle idéal.

💡 Ce que le graphique révèle (et le piège à éviter) :

La courbe bleue (échelonnée 1:10) et la courbe verte (AOP) sont RÉELLEMENT très proches :
Ce n’est pas une illusion : en échelonnant simplement les impédances dans un rapport de 10, le terme d’interaction parasite ne pèse plus que $0{,}1\tau$ au dénominateur ( $D(p) = 1 + 2{,}1\tau p + \tau^2 p^2$ au lieu de $1 + 2{,}0\tau p + \tau^2 p^2$ ). L’échelonnement passif récupère ainsi $95{,}2\,\%$ du facteur de qualité idéal (et $93{,}3\,\%$ de la bande passante) d’un étage tamponné sans consommer le moindre milliampère d’alimentation !

Le véritable gouffre se situe avec la cascade identique (courbe rouge) :
Dans le rapport 1:1, l’interaction parasite pèse $1{,}0\tau$ ( $D(p) = 1 + 3{,}0\tau p + \tau^2 p^2$ ) : l’effet de charge ampute la bande passante utile de $62{,}6\,\%$ ( $f_c = 0{,}374 f_0$ ) et écrase le signal à $-9{,}54\ \text{dB}$ à la fréquence propre.

Pourquoi mettre un AOP ?
Parce que la courbe ne montre le filtre qu’à vide ! La cascade échelonnée présente une impédance de sortie élevée ( $10\ \text{k}\Omega$ ) : dès qu’un étage suivant (amplificateur, convertisseur CAN) viendra s’y brancher, elle subira à son tour un nouvel effet de charge destructeur. L’AOP suiveur, lui, possède une impédance de sortie nulle dans le modèle idéal ( $Z_{\text{out}} = 0\ \Omega$ ) : dans ce modèle, il garantit que le filtre conserve sa réponse exacte quelle que soit la charge résistive connectée en aval. (Dans un AOP réel, le courant de sortie maximal, la bande passante, l’excursion et la stabilité sur charge capacitive imposent des limites à vérifier selon le composant choisi.)

Pour aller plus loin : et si l’on observait ces filtres avec un axe des fréquences linéaire ?

En électronique, nous manipulons presque exclusivement les diagrammes de Bode en échelle logarithmique, au point d’oublier parfois l’allure de la fonction de transfert lorsque l’axe horizontal est linéaire (telle qu’on la mesurerait avec un analyseur de réseau ou un banc de mesure à balayage fréquentiel).

Pour observer l’élargissement de bande passante sans la compression optique des hautes décades, traçons les trois mêmes réponses avec un axe des fréquences linéaire gradué de $0$ à $2\cdot f_0$ :

**Fig. 21** — Réponse en fréquence des trois cascades avec axe des fréquences linéaire de 0 à 2 f0

Cette représentation apporte deux enseignements capitaux :

L’élargissement de la bande passante (+72 %) apparaît dans toute sa réalité physique : sans la compression géométrique de l’axe des fréquences, l’écart entre la coupure de la cascade identique ( $0{,}374 f_0$ ) et celle de l’AOP ( $0{,}644 f_0$ ) saute aux yeux de manière frappante.
On comprend le coup de génie d’Hendrik Bode : avec un axe des fréquences linéaire, l’asymptote à $-40\ \text{dB/décade}$ perd sa rectitude et plonge en courbe. L’échelle logarithmique est indispensable pour tracer des asymptotes rectilignes sur plusieurs décades ( $10\ \text{Hz} \to 100\ \text{kHz}$ ), mais la vue linéaire rappelle concrètement la répartition spectrale du signal.

Le second ordre : ne confondons plus $f_0$ , $f_c$ et $f_r$ , explications sur $\xi$ , $\omega$ et $Q$

Au premier ordre, l’affaire était simple : une unique constante de temps $\tau = RC$ dictait la fréquence de coupure $f_c = 1/(2\pi RC)$ , la pente d’atténuation filait gentiment à $-20\ \text{dB/décade}$ et la phase glissait de $0^\circ$ à $-90^\circ$ . Rien ne pouvait dépasser, osciller ou surprendre.

Dès que nous franchissons le seuil du second ordre, le paysage physique change radicalement. Un filtre du second ordre possède deux stockages d’énergie indépendants, par exemple deux condensateurs ou un couple formé par une inductance et un condensateur. Deux condensateurs stockent tous deux de l’énergie sous forme électrique : dans un réseau RC passif, ils produisent un second ordre mais pas l’échange oscillatoire d’énergie qui crée une résonance. Un couple LC, en revanche, échange l’énergie entre le champ électrique du condensateur et le champ magnétique de la bobine ; selon l’amortissement du circuit, une résonance peut alors apparaître.

Une simple fréquence de coupure ne suffit donc plus à décrire ce qui se passe. Il faut deux paramètres physiques indépendants pour gouverner son comportement :

La pulsation propre $\omega_0$ (oméga zéro, $\omega_0 = 2\pi f_0$ ), exprimée en $\text{rad/s}$ , qui fixe l’échelle des fréquences et l’endroit où le circuit concentre sa dynamique.
Le taux d’amortissement, qui décide de la silhouette de la courbe. Deux écoles d’ingénieurs le quantifient avec deux notations jumelles :
- Le facteur de qualité $Q$ (le nombre sans unité qui indique à quel point une résonance est peu amortie et sélective) : cher aux radio-électriciens et aux acousticiens, il mesure l’amortissement du circuit et la proximité des pôles avec l’axe imaginaire. Plus $Q$ est élevé, moins le système est amorti et plus sa dynamique est vive (se traduisant, pour un passe-bas canonique (conforme à l’écriture de référence standardisée mettant en évidence les paramètres clés du circuit), par une résonance plus aiguë).
- Le coefficient d’amortissement $\xi$ (le nombre sans unité qui mesure le freinage des oscillations) : cette lettre grecque ksi minuscule se prononce « xi » ou « ksi ». Cette notation est notamment employée par les automaticiens et les mécaniciens.

D’où vient la lettre $\xi$ et pourquoi ce facteur 2 ?

Ces deux grandeurs décrivent exactement la même réalité physique, sous un angle inversé :

Q = \frac{1}{2\xi} \qquad \Longleftrightarrow \qquad 2\xi = \frac{1}{Q}

Pourquoi ce mystérieux coefficient $2$ est-il systématiquement attaché à $\xi$ ?
Lorsque les physiciens écrivent l’équation différentielle universelle d’un système oscillant :

\frac{\mathrm{d}^2 s(t)}{\mathrm{d}t^2} + 2\xi\omega_0 \frac{\mathrm{d}s(t)}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2 s(t) = \omega_0^2 e(t)

le facteur 2 est introduit expressément pour simplifier la résolution mathématique. Grâce à lui, le discriminant réduit de l’équation caractéristique s’écrit $\Delta' = \omega_0^2(\xi^2 - 1)$ , ce qui évite de traîner d’encombrantes fractions au dénominateur lors du calcul des racines (les pôles du circuit).

La position des pôles et le régime d’amortissement sont des propriétés fondamentales fixées par le dénominateur. Les conséquences décrites ci-dessous sur la réponse temporelle à l’échelon et sur la courbe de gain en fréquence supposent un passe-bas canonique du second ordre à gain statique unitaire (forme canonique = modèle mathématique standardisé de référence) ; le numérateur et ses éventuels zéros peuvent modifier ces allures de réponse :

Régime apériodique sur-amorti ( $\xi > 1$ , soit $Q < 0{,}5$ ) : le freinage est très fort, les deux pôles sont réels et distincts. Le filtre réagit avec lenteur et la courbe descend de façon étalée sans aucun pic.
Amortissement critique ( $\xi = 1$ , soit $Q = 0{,}5$ ) : les deux pôles réels sont confondus ( $p_1 = p_2 = -\omega_0$ ). C’est la réponse temporelle la plus rapide possible sans aucun dépassement ni oscillation.
Régime sous-amorti sans surtension ( $1/\sqrt{2} \le \xi < 1$ , soit $0{,}5 < Q \le 0{,}707$ ) : les pôles deviennent complexes conjugués. Dans le domaine temporel, un léger dépassement apparaît à l’échelon, mais dans le domaine fréquentiel, la courbe de gain reste strictement décroissante sans aucun pic. La frontière $\xi = 1/\sqrt{2} \approx 0{,}707$ ( $Q = 0{,}707$ ) correspond au cas remarquable de Butterworth, offrant la platitude maximale en bande passante (maximally flat).
Régime sous-amorti avec résonance ( $\xi < 1/\sqrt{2} \approx 0{,}707$ , soit $Q > 0{,}707$ ) : les pôles se rapprochent de l’axe imaginaire. Une bosse de surtension (pic de résonance) jaillit sur la courbe d’amplitude avant la coupure.
(Cas limite théorique : l’oscillateur pur non amorti pour $\xi = 0$ , $Q \to \infty$ , où les pôles se trouvent directement sur l’axe imaginaire $p = \pm j\omega_0$ ).

Sous sa forme canonique normalisée (forme canonique = écriture universelle standardisée où les coefficients sont directement $Q$ , $\xi$ et $\omega_0$ sans calcul intermédiaire), le dénominateur $D(p)$ de la fonction de transfert s’écrit donc indifféremment avec $Q$ ou avec $\xi$ :

D(p)=1+\frac{p}{Q\omega_0}+\frac{p^2}{\omega_0^2} =1+\frac{2\xi}{\omega_0}p+\frac{p^2}{\omega_0^2}

Trois fréquences qu’il ne faut plus confondre

C’est ici que se produit une confusion classique chez nombre d’électroniciens débutants : assimiler la fréquence propre, la fréquence de coupure et la fréquence du pic de résonance. Il s’agit en réalité de trois grandeurs distinctes :

$f_0$ , la fréquence propre caractéristique ( $f_0 = \omega_0 / 2\pi$ ) : fixée par les valeurs des composants ( $LC$ ou $RC$ ). Pour le passe-bas canonique à gain statique unitaire, à $f = f_0$ , le déphasage vaut rigoureusement $-90^\circ$ , et le module du gain est directement égal à $Q$ ( $|H(j\omega_0)| = Q$ , soit $G_{\text{dB}}(f_0) = 20\log_{10} Q$ ).
$f_c$ , la fréquence de coupure au point à $-3\ \text{dB}$ : la fréquence à laquelle le module du gain en tension vaut $1/\sqrt{2} \approx 0{,}707$ de sa valeur de référence. Ce module à $1/\sqrt{2}$ correspond à une puissance divisée par deux uniquement lorsque les impédances comparées sont identiques.
$f_r$ , la fréquence de résonance : la fréquence à laquelle la courbe d’amplitude atteint son sommet maximal lorsqu’un pic existe.

Pour le passe-bas canonique à gain statique unitaire, $f_0 = f_c$ uniquement dans le cas très particulier de Butterworth ( $Q = 1/\sqrt{2}$ ), pour lequel il n’y a aucun pic de surtension.

Pour le passe-bas canonique à gain statique unitaire, dès que $Q > 1/\sqrt{2}$ , un pic de surtension se forme à la fréquence de résonance $f_r$ , qui est strictement inférieure à $f_0$ :

f_r=f_0\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}} < f_0

Plus $Q$ augmente, plus la résonance devient pointue et plus $f_r$ se rapproche par en dessous de $f_0$ , tandis que le point à $-3\ \text{dB}$ se retrouve repoussé bien au-delà de $f_0$ .

Les pôles prennent place dans le plan complexe

Les racines du dénominateur sont les pôles de la fonction de transfert. Un premier ordre possède un unique pôle réel négatif ; un second ordre sous-amorti possède une paire de pôles complexes conjugués de la forme $p = -\alpha \pm j\omega_d \qquad (\alpha > 0)$ .

Leur position dans le plan complexe résume d’un seul coup d’œil l’ensemble du comportement dynamique du filtre :

**Fig. 22** — Représentation de pôles dans le plan complexe

Pour qu’un filtre causal rationnel soit stable au sens entrée bornée–sortie bornée (toute entrée d’amplitude limitée produit une sortie d’amplitude limitée), tous ses pôles doivent se situer strictement dans le demi-plan gauche ( $\text{Re}(p) < 0$ ). Plus les pôles se rapprochent de l’axe imaginaire vertical, plus l’amortissement $\xi$ diminue, plus le facteur de qualité $Q$ augmente et plus la résonance devient aiguë. S’ils traversaient l’axe imaginaire vers la droite, le circuit deviendrait instable : un pôle réel produirait une divergence exponentielle, tandis qu’une paire complexe engendrerait des oscillations d’amplitude croissante.

Deux cellules RC passives

Pour les passe-bas RC passifs du second ordre considérés jusqu’ici, constitués uniquement de résistances et de condensateurs sans amplification ni boucle de réaction positive, les pôles restent irrémédiablement cantonnés sur l’axe réel négatif ( $\xi \ge 1$ ). Ils ne peuvent en aucun cas produire le moindre pic de résonance sous-amorti.

Récapitulatif des deux cas passifs étudiés :

Deux cellules identiques directement raccordées (effet de charge maximal) :
$\xi=1{,}5 \qquad ; \qquad Q=\frac13 \approx 0{,}333$
Deux cellules identiques isolées par un tampon suiveur idéal :
$\xi=1{,}0 \qquad ; \qquad Q=\frac12 = 0{,}500$

Peut-on améliorer $Q$ sans amplificateur en répartissant différemment les résistances et les condensateurs ?
Le tableau ci-dessous compare l’effet de différentes combinaisons de valeurs :

**Fig. 23** — Exemples de réseaux passe-bas RC passifs du second ordre

Cette illustration montre que la redistribution des résistances et des condensateurs modifie $Q$ dans ces réseaux passifs, mais pas forcément à la hausse : selon la combinaison de composants, $Q_{\max} = \sqrt{b}/2$ où $b$ est le rapport des constantes de temps. Pour $b = 0{,}5$ , $Q_{\max} \approx 0{,}354$ (légère amélioration par rapport à $Q = 1/3$ ) ; pour $b = 1/3$ , $Q_{\max} \approx 0{,}289$ (dégradation). Dans tous les cas, la valeur $Q = 0{,}5$ du tampon idéal reste hors de portée. Pour dépasser ce seuil en passif et obtenir une résonance, il nous manque un ingrédient physique capable d’échanger de l’énergie réactive : la bobine d’inductance.

Retour sur le filtre passe-tout du second ordre

Le numérateur et le dénominateur partagent les mêmes coefficients, à l’exception du terme en $p$ du premier degré dont le signe est inversé (un $-$ au numérateur, un $+$ au dénominateur). Quand on remplace $p$ par $j\omega$ pour étudier le régime sinusoïdal permanent, ces deux polynômes deviennent complexes conjugués : ils possèdent exactement le même module, mais des phases opposées. Leur rapport a donc un module de $1$ — le gain est rigoureusement constant — tandis que la phase est la somme des deux contributions de phase, soit le double de la phase du numérateur. Les conditions $Q>0$ et $\omega_0>0$ placent les pôles dans le demi-plan gauche et garantissent ici la stabilité du filtre ; la seule symétrie des coefficients ne suffirait pas à garantir un circuit physique stable.

Avec la convention choisie ici, la phase déroulée passe progressivement de $0^\circ$ à $-360^\circ$ lorsque la fréquence augmente, et vaut $-180^\circ$ à $f_0$ . La valeur finale de $-360^\circ$ est naturellement équivalente à $0^\circ$ , mais elle indique qu’un tour de phase complet a été parcouru. Le facteur de qualité $Q$ contrôle la raideur de cette transition de phase : un $Q$ élevé concentre la variation autour de $f_0$ , tandis qu’un $Q$ faible l’étale sur une large plage de fréquences.

Gain constant et phase variable d'un filtre passe-tout du second ordre — **Fig. 24** — Gain constant et phase variable d’un filtre passe-tout du second ordre

Le filtre passe-tout ne constitue cependant pas nécessairement un retard pur : pour retarder toutes les fréquences de la même durée, il faudrait que sa phase varie linéairement avec la fréquence, ce qui n’est le cas qu’en approximation sur une plage limitée.

De passe-bas à passe-haut

Avant d’introduire l’inductance, remarquons une merveilleuse propriété de symétrie mathématique : pour transformer toute fonction passe-bas de référence de pulsation $\omega_0$ en son équivalent passe-haut de même fréquence de coupure, il suffit d’effectuer dans le domaine de Laplace la transformation spectrale de dualité :

p\longrightarrow\frac{\omega_0^2}{p}

Cette substitution inverse littéralement l’espace des fréquences : le continu ( $p=0$ ) est envoyé à l’infini, et les hautes fréquences ( $p \to \infty$ ) sont ramenées à l’origine.

Appliquée au premier ordre :

\frac{1}{1+p/\omega_0} \longrightarrow \frac{1}{1 + \dfrac{\omega_0^2}{p\omega_0}} = \frac{1}{1 + \dfrac{\omega_0}{p}} = \frac{p/\omega_0}{1+p/\omega_0}

Sur le schéma électronique, cette dualité s’opère en échangeant simplement la place des résistances et des condensateurs, avec un redimensionnement respectant la fréquence désirée :

C' = \frac{1}{R\omega_0} \qquad ; \qquad R' = \frac{1}{C\omega_0}

**Fig. 25** — Transformation d’un passe-bas en passe-haut

Le passe-bas passif RLC du second ordre

Nous venons de constater qu’avec des résistances et des condensateurs seuls, un circuit passif reste confiné dans le domaine sur-amorti ( $Q \le 0{,}5$ ). Le condensateur stocke puis restitue de l’énergie électrostatique. Mais, avec seulement des résistances et des condensateurs, il n’existe pas de réservoir magnétique complémentaire permettant un échange périodique d’énergie et une résonance naturelle.

Pour faire naître une véritable résonance naturelle sans amplificateur, il nous faut un second réservoir d’énergie de nature complémentaire : la bobine d’inductance $L$ , qui stocke l’énergie sous forme de champ magnétique ( $E = \frac{1}{2} L I^2$ ).

En associant une bobine et un condensateur, nous créons un véritable ping-pong énergétique : le condensateur se décharge dans la bobine, qui accumule l’énergie dans son champ magnétique, puis la bobine restitue cette énergie en rechargeant le condensateur en sens inverse.

**Fig. 26** — Filtre passe-bas passif RLC du second ordre

Dans le modèle théorique idéal (source de tension sans impédance interne, sortie non chargée et pertes globales de la maille regroupées dans la résistance série $R$ ), la fonction de transfert aux bornes du condensateur s’écrit :

H(p)=\frac{1}{1+RCp+LCp^2}

Par identification directe avec la forme canonique $1 + \dfrac{p}{Q\omega_0} + \dfrac{p^2}{\omega_0^2}$ :

\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}} \qquad ; \qquad f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}

Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}

Cette formule de $Q$ est lumineuse :

La résistance $R$ englobe toutes les pertes résistives série du circuit (résistance interne du générateur, résistance ohmique du fil de cuivre de la bobine et pertes diélectriques).
Si la résistance de pertes $R$ tend vers zéro, $Q$ tend vers l’infini : l’énergie oscille sans amortissement.
En ajustant la valeur de $R$ , nous pouvons dans ce modèle choisir le facteur de qualité désiré : $Q = 0{,}707$ pour Butterworth, $Q = 0{,}577$ pour Bessel, ou $Q > 1$ pour un filtre résonnant sélectif. Dans un montage réel, la résistance de la source, la charge connectée en sortie et les tolérances des composants déplaceront naturellement la valeur effective de $Q$ .

**Fig. 27** — Influence du facteur de qualité sur un passe-bas du second ordre

Le passe-haut passif RLC du second ordre

De la même manière que nous avons inversé le premier ordre, nous pouvons transposer le circuit RLC pour fabriquer un passe-haut du second ordre. Il suffit pour cela de prélever la tension de sortie aux bornes de l’inductance $L$ plutôt qu’aux bornes du condensateur.

Physiquement, le comportement s’inverse de façon symétrique :

En continu et à très basse fréquence ( $f \to 0$ ), la bobine présente une impédance quasi-nulle ( $Z_L = jL\omega \to 0$ ) : elle court-circuite la sortie vers la masse. La pente de remontée dans la bande atténuée est de $+40\ \text{dB/décade}$ (soit $+12\ \text{dB/octave}$ ).
À très haute fréquence ( $f \to \infty$ ), la bobine oppose une impédance gigantesque tandis que le condensateur devient un court-circuit : la totalité de la tension d’entrée se retrouve aux bornes de $L$ , et le gain tend vers $1$ ( $0\ \text{dB}$ ).

**Fig. 28** — Influence du facteur de qualité sur un passe-haut du second ordre

Pour $f \ll f_0$ , le gain grimpe en ligne droite avec sa pente de $+40\ \text{dB/décade}$ .
Pour des valeurs élevées de $Q$ ( $Q > 1/\sqrt{2}$ ), un pic de surtension apparaît au-dessus de $f_0$ , à la fréquence de résonance passe-haut :
$f_r = \frac{f_0}{\sqrt{1 - \dfrac{1}{2Q^2}}} > f_0$
Pour $f \gg f_0$ , le gain rejoint son palier asymptotique unitaire.

Dans un montage réel, la résistance ohmique de la bobine et celle du générateur limitent le facteur $Q$ maximal accessible et arrondissent la transition.

Les passe-bande passifs RC

Que faire si nous voulons isoler une bande de fréquences intermédiaire, par exemple pour filtrer la voix humaine entre 300 Hz et 3 400 Hz dans un système téléphonique ?

La première intuition consiste à combiner un filtre passe-haut (qui élimine les graves) et un filtre passe-bas (qui élimine les aigus). Mais lorsqu’on réalise cette combinaison uniquement avec des résistances et des condensateurs passifs, on découvre vite les limites sévères de la technologie RC :

**Fig. 29** — Trois structures de passe-bande RC passifs du second ordre

La forme canonique générale (forme canonique = écriture mathématique de référence standardisée qui fait apparaître directement le gain au centre $A$ , la pulsation propre $\omega_0$ et le facteur de qualité $Q$ ) d’un passe-bande du second ordre s’écrit :

H(p)=A\frac{\dfrac{1}{Q}\dfrac{p}{\omega_0}} {1+\dfrac{1}{Q}\dfrac{p}{\omega_0}+\dfrac{p^2}{\omega_0^2}}

où $A = |H(j\omega_0)|$ représente le gain maximal obtenu au centre de la bande.

Pour toutes ces structures, la fréquence centrale géométrique et les fréquences de coupure aux points à $-3\ \text{dB}$ par rapport au sommet sont régies par les équations exactes :

\omega_0=\sqrt{\omega_1\omega_2}

\omega_1=\omega_0\left(\sqrt{1+\frac{1}{4Q^2}}-\frac{1}{2Q}\right)

\omega_2=\omega_0\left(\sqrt{1+\frac{1}{4Q^2}}+\frac{1}{2Q}\right)

et la largeur de bande passante mesurée entre les deux points à $-3\ \text{dB}$ ( $\Delta f$ ) est inversement proportionnelle à la sélectivité $Q$ :

\Delta f=f_2-f_1=\frac{f_0}{Q}

**Fig. 30** — Réponse d’un passe-bande du second ordre pour plusieurs valeurs de Q

Le diagnostic technique : Plus $Q$ est grand, plus la bande passante est étroite et sélective. Mais en technologie purement RC passive (qui ne produit que des pôles purement réels), le facteur de qualité reste borné théoriquement par $Q \le 0{,}5$ ( $\xi \ge 1$ ). Avec des composants tous égaux, la cascade directe donne $Q = 1/3 \approx 0{,}333$ . En échelonnant fortement les impédances (par exemple pour la deuxième structure du tableau : $R_1 = 10R_2$ et $C_1 = \dfrac{C_2}{10}$ , ce qui donne $Q = A = \dfrac{1}{2{,}1} = \dfrac{10}{21} \approx 0{,}476$ ), certaines structures peuvent s’approcher de $Q = 0{,}5$ , sans jamais le dépasser. Avec deux cellules isolées par un tampon idéal, on a également $Q \le 0{,}5$ . De plus, le gain au centre $A$ subit une perte d’insertion inévitable qui dépend de la topologie et de l’échelonnement (environ $-9{,}54\ \text{dB}$ pour deux cellules identiques avec $A = 1/3$ , pouvant être réduite à environ $-6{,}44\ \text{dB}$ avec $A = 10/21 \approx 0{,}476$ ). (Note de lecture du graphique ci-dessus : les courbes sont normalisées avec un sommet à $0\ \text{dB}$ . Pour un montage passif réel, l’ensemble de la courbe est translaté vers le bas de $20\log_{10}A$ ). Un passe-bande passif RC ne convient donc que pour des filtrages très larges et peu sélectifs.

Le passe-bande passif RLC

Pour obtenir un filtre passe-bande passif étroit et sélectif avec un gain unitaire ( $A = 1$ ), la bobine redevient indispensable.

Le circuit RLC série dont la sortie est prélevée aux bornes de la résistance $R$ constitue un exemple canonique de passe-bande résonnant :

**Fig. 31** — Filtre passe-bande passif RLC série

Sa fonction de transfert s’écrit :

H(p)=\frac{RCp}{1+RCp+LCp^2}

avec :

f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \qquad ; \qquad Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}

Voyons la magie physique qui s’opère à la fréquence de résonance $f = f_0$ :
À cette pulsation exacte $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ , l’impédance inductive de la bobine ( $+jL\omega_0$ ) et l’impédance capacitive du condensateur ( $-j/C\omega_0$ ) sont de même valeur mais de signes rigoureusement opposés :

Z_{LC} = jL\omega_0 + \frac{1}{jC\omega_0} = j\left(L\omega_0 - \frac{1}{C\omega_0}\right) = 0

Dans ce modèle sans pertes parasites annexes, les deux réactances s’annihilent mutuellement : la branche LC se comporte comme un court-circuit à la résonance, et la tension de sortie atteint idéalement la tension d’entrée ( $V_s = V_e$ , soit un gain unitaire de $0\ \text{dB}$ et un déphasage nul). En pratique, la résistance série propre de la bobine et l’impédance de la source introduisent une légère atténuation.

De part et d’autre de $f_0$ , l’impédance $Z_{LC}$ explose et étouffe le signal, avec des pentes asymptotiques de $+20\ \text{dB/décade}$ dans les graves et $-20\ \text{dB/décade}$ dans les aigus.

Le filtre réjecteur double-T

Le pendant inverse du passe-bande est le filtre coupe-bande ou réjecteur.

Comment éliminer une fréquence parasite précise (comme le ronflement à 50 Hz induit par le secteur électrique) sans utiliser de bobine volumineuse ? La réponse historique des ingénieurs est un chef-d’œuvre d’ingéniosité passive : le réseau en double-T (ou Twin-T).

**Fig. 32** — Filtre réjecteur double-T passif symétrique équilibré

Le double-T repose sur le principe de l’interférence destructive entre deux chemins parallèles :

La branche supérieure forme un chemin passe-bas composé de deux résistances $R$ en série et d’un condensateur médian $2C$ relié à la masse.
La branche inférieure forme un chemin passe-haut composé de deux condensateurs $C$ en série et d’une résistance médiane $R/2$ reliée à la masse.

À la fréquence d’accord géométrique :

f_0=\frac{1}{2\pi RC}

les deux chemins produisent à la sortie deux tensions d’amplitudes strictement égales, mais dont les déphasages sont en opposition de phase parfaite ( $180^\circ$ ). En se recombinant au point de sommation de sortie, les deux ondes s’annulent mutuellement ( $V_{s1} + V_{s2} = 0$ ).

Dans des conditions idéales (composants parfaits, source de résistance nulle, charge infinie), la réjection théorique à $f_0$ est infinie (une encoche abyssale à $-\infty\ \text{dB}$ ).

La contrainte de fabrication en pratique : La profondeur réelle de l’atténuation dépend de manière critique de l’appariement des composants. Des dispersions de 2 % sur les résistances ou les condensateurs, selon leur combinaison, peuvent limiter l’encoche à quelques dizaines de décibels (la forte sensibilité du double-T à l’appariement des composants est analysée en détail par Bruce Carter : Carter, 2006). De plus, comme tout circuit passif, le double-T présente un facteur de qualité modeste ( $Q = 0{,}25$ , soit une encoche large $\Delta f = 4f_0$ ) et s’écroule dès qu’on y branche une charge résistive. Nous verrons dans la deuxième partie comment une structure active à AOP permet d’augmenter fortement $Q$ et de réduire la sensibilité à la charge extérieure, sans supprimer la sensibilité à l’appariement des composants.

Quand choisir un filtre passif ?

Au terme de ce tour d’horizon, une question d’ingénierie s’impose : face à la suprématie apparente des circuits intégrés et des AOP, quand est-il encore pertinent de concevoir un filtre purement passif ?

Les filtres passifs sont souvent particulièrement avantageux dans quatre grands cas de figure :

Absence d’alimentation auxiliaire et simplicité totale : une cellule passive fonctionne sans aucune source de courant externe. C’est l’idéal pour les équipements autonomes, les filtres d’enceintes acoustiques passives ou les protections d’entrée.
Gestion de fortes puissances et signaux de grande amplitude : un filtre passif constitué de condensateurs haute tension et de selfs à gros fil peut encaisser des centaines de volts et des dizaines d’ampères (filtres secteur EMI/RFI, filtres de séparation pour enceintes de 500 W), là où un AOP serait instantanément détruit.
Très hautes fréquences (RF et micro-ondes) : en radiofréquence, bien que des AOP à très large bande passante existent aujourd’hui jusqu’au gigahertz, les filtres passifs LC, céramiques, à quartz ou à lignes de transmission restent souvent privilégiés pour leur facteur $Q$ élevé, leur absence de bruit actif, leur tenue en puissance et leur excellente linéarité dans leur domaine nominal (même si les inductances peuvent saturer à fort courant et certains diélectriques de condensateurs présenter des non-linéarités sous forte tension).
Bruit électronique ultra-faible : un réseau passif ne génère aucun bruit semi-conducteur actif (bruit en $1/f$ , bruit de grenaille), uniquement le bruit thermique incompressible de ses résistances.

En revanche, dès que l’on travaille aux basses fréquences (de 0,1 Hz à 100 kHz) sur des signaux de faible niveau, les filtres actifs deviennent souvent préférables : ils permettent de réaliser de nombreux filtres sans bobine lourde ni coûteuse, offrent des impédances d’entrée très élevées (plusieurs mégohms à gigaohms) et facilitent le réglage indépendant de la fréquence et de l’amortissement.

Des filtres passifs aux intégrateurs pratiques

Pour faire le pont vers le monde actif de la deuxième partie, examinons l’une des topologies fondamentales de l’électronique analogique : l’intégrateur à amplificateur opérationnel.

En remplaçant la résistance de contre-réaction d’un amplificateur inverseur par un condensateur $C$ , le courant d’entrée $i = v_e / R$ charge directement ce condensateur :

H(p)=-\frac{1}{RCp}

Dans le domaine temporel (pour des conditions initiales nulles), la tension de sortie est la primitive exacte du signal d’entrée (l’opération inverse de la dérivée : au lieu de mesurer la vitesse de variation, on accumule le signal au fil du temps) :

v_s(t)=-\frac{1}{RC}\int_0^t v_e(t')\,\mathrm{d}t'

**Fig. 33** — Intégrateur idéal et intégrateurs pratiques à AOP

Le piège de l’intégrateur idéal et les solutions pratiques

Sur le papier, l’intégrateur idéal est parfait. Mais en pratique, il cache un piège redoutable : en courant continu ( $p=0$ ), le condensateur se comporte comme un circuit ouvert, ce qui supprime la contre-réaction en continu.

Toute composante continue résiduelle à l’entrée — qu’il s’agisse de la tension d’offset $V_{os}$ de l’AOP (le minuscule déséquilibre inhérent aux transistors d’entrée), des courants de polarisation de grille ou de base, ou d’une composante continue du signal — injecte un courant permanent $i_0$ dans le condensateur. L’AOP intégrant sans relâche ce courant ( $v_s(t) = -\frac{1}{C}\int i_0\,\mathrm{d}t = -\frac{i_0}{C}t$ ), la tension de sortie s’emballe en une rampe linéaire de dérive et finit par venir saturer contre l’un des rails d’alimentation (+15 V ou −15 V). L’intégrateur idéal pur est donc instable et inutilisable tel quel en continu sans boucle de réinitialisation.

Pour dompter ce montage, l’ingénieur dispose de trois variantes pratiques présentées sur la figure ci-dessus, qui partagent toutes la même pente asymptotique de $-20\ \text{dB/décade}$ à haute fréquence mais diffèrent par leur gain, leur signe et leur déphasage :

L’intégrateur pratique inverseur ( $R_f \parallel C$ ) : en plaçant une résistance de fuite $R_f$ en parallèle avec le condensateur, la contre-réaction est rétablie en continu :
$H(p)=-\frac{R_f}{R}\frac{1}{1+pR_fC}$
Le gain continu est borné à $A_{\text{max}} = -R_f / R$ , supprimant la dérive en rampe. Au-dessus de la fréquence charnière $f_c = \dfrac{1}{2\pi R_f C}$ , le circuit retrouve le comportement d’un intégrateur pur (pente de $-20\ \text{dB/décade}$ et déphasage de $+90^\circ$ ).
Le passe-bas RC tamponné non-inverseur : la cellule passive $RC$ est placée à l’entrée non-inverseuse d’un AOP suiveur ( $H(p) = \dfrac{+1}{1+pRC}$ ). Le gain statique est unitaire ( $0\ \text{dB}$ ), le signal n’est pas inversé (déphasage de $0^\circ$ à $-90^\circ$ ) et l’impédance de sortie est quasi nulle.
Le passe-bas RC non-inverseur amplifié : en ajoutant un pont diviseur de gain $(R_1, R_2)$ dans la boucle de contre-réaction ( $H(p) = \dfrac{1 + R_2/R_1}{1+pRC}$ ), on combine dans un unique étage le filtrage passe-bas du 1er ordre et une amplification en tension réglable sans inversion de phase.

Ces intégrateurs pratiques constituent les briques de base indispensables qui nous permettront, dans le volet suivant, de synthétiser les filtres actifs universels les plus performants.

Conclusion et perspectives

Notre voyage avait commencé avec une simple résistance et un modeste condensateur.

En suivant le fil conducteur du comportement physique, ces deux composants nous ont révélé la notion de fréquence de coupure, de gain logarithmique et de déphasage. Puis, en voulant simplement associer deux cellules, nous avons découvert le mur de l’effet de charge et la nécessité de maîtriser l’adaptation d’impédance.

Cette quête nous a conduits au second ordre : nous avons compris pourquoi deux paramètres indépendants ( $\omega_0$ et $\xi$ ou $Q$ ) sont indispensables, comment les pôles gouvernent la stabilité dans le plan complexe, et pourquoi la bobine d’inductance est indispensable en passif pour obtenir une résonance.

Mais nous avons surtout touché du doigt les limites du monde passif : encombrement et pertes des bobines, interaction destructrice entre étages, et impossibilité de régler librement la sélectivité sans écrouler le niveau du signal.

Pour franchir ce cap et concevoir des filtres sur mesure, raides, stables et ajustables d’un simple coup de potentiomètre, nous devons faire entrer en scène l’amplification et la contre-réaction active.

C’est exactement l’objet de la deuxième partie : nous y explorerons le différenciateur stabilisé, les célèbres topologies Sallen-Key et Rauch (MFB), le spectaculaire filtre universel à variables d’état à 3 et 4 AOP, ainsi que les gyrateurs qui simulent une inductance sur une plage de fréquences déterminée, avec des limites de bruit, de dynamique et de bande passante.

Annexe : Le théorème de Fourier et la décomposition spectrale

Les décompositions aujourd’hui associées au nom du mathématicien et physicien français Joseph Fourier (Fourier, 1822) sont développées dans son traité fondateur Théorie analytique de la chaleur, publié en 1822. Elles sont devenues l’un des fondements du traitement du signal et de l’analyse des circuits linéaires.

1. Pour un signal périodique : la série de Fourier

Un signal périodique $x(t)$ de période $T$ (de pulsation fondamentale $\omega_0 = \dfrac{2\pi}{T}$ et de fréquence fondamentale $f_0 = \dfrac{1}{T}$ ) qui respecte des conditions suffisantes usuelles de Dirichlet — notamment être intégrable sur une période et n’y posséder qu’un nombre fini de discontinuités et d’extrema — admet une série de Fourier. Aux points où le signal est continu, la série converge vers sa valeur ; à une discontinuité, elle converge vers la moyenne des limites situées de part et d’autre :

x(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} \left( a_n \cos(n\omega_0 t) + b_n \sin(n\omega_0 t) \right)

ou, sous forme équivalente exprimée en amplitudes et déphasages :

x(t) = A_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} A_n \cos(n\omega_0 t + \theta_n)

où :

$A_0 = a_0 = \dfrac{1}{T}\int_0^T x(t)\,\mathrm{d}t$ représente la valeur moyenne, c’est-à-dire la composante continue à $0\ \text{Hz}$ ;
$n = 1$ donne le terme de fréquence $f_0$ , appelé la fondamentale ;
$n \ge 2$ donne les termes de fréquences multiples entiers $n f_0$ , appelés les harmoniques de rang $n$ ;
$A_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}$ est l’amplitude de chaque harmonique et $\theta_n = \operatorname{atan2}(-b_n, a_n)$ sa phase à l’origine (la fonction $\operatorname{atan2}$ permettant de préserver le quadrant exact selon les signes respectifs de $a_n$ et $b_n$ ).

2. Pour un signal non périodique : la transformée de Fourier

Pour passer intuitivement d’un signal périodique à un événement transitoire non périodique — une impulsion isolée, une syllabe vocale ou une perturbation temporelle — on peut imaginer que la période $T$ tend vers l’infini ( $T \to \infty$ ). L’intervalle entre les fréquences discrètes $\Delta f = 1/T$ tend alors vers zéro et le spectre devient continu. Sous les conditions d’existence appropriées, cette limite conduit à la transformée de Fourier :

X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\,e^{-j2\pi f t}\,\mathrm{d}t \qquad \Longleftrightarrow \qquad x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} X(f)\,e^{j2\pi f t}\,\mathrm{d}f

Le spectre devient continu : $X(f)$ décrit l’amplitude complexe et la phase de chaque composante fréquentielle. Pour un signal d’énergie, $|X(f)|^2$ représente sa densité spectrale d’énergie.

3. Pourquoi ce théorème est fondamental pour les filtres linéaires

Dans tout circuit linéaire et invariant dans le temps (LTI), le principe de superposition s’applique rigoureusement. Si nous connaissons la réponse harmonique du filtre $H(j\omega)$ pour chaque fréquence sinusoïdale élémentaire, la réponse $y(t)$ à n’importe quel signal périodique complexe d’entrée $x(t)$ s’obtient simplement en modifiant chaque harmonique par le gain $|H(j n\omega_0)|$ et le déphasage $\arg H(j n\omega_0)$ du filtre à cette fréquence précise :

y(t) = A_0 \cdot H(0) + \sum_{n=1}^{+\infty} A_n \cdot |H(j n\omega_0)|\,\cos\big(n\omega_0 t + \theta_n + \arg H(j n\omega_0)\big)

C’est ce cadre qui permet de caractériser complètement, dans son domaine linéaire et pour des conditions initiales nulles, un filtre analogique LTI stable par sa réponse harmonique en fréquence $H(j\omega)$ .

Sources et filiation

Source d’inspiration historique : dossier thématique « Les filtres passifs et actifs », magazine Hobbytronic n° 11, p. 2–9. Les numéros originaux sont archivés sur Abandonware Magazines.
Sources historiques primaires :
- Isaac Newton, « A Letter… containing his New Theory about Light and Colors », Philosophical Transactions of the Royal Society, n° 80, 19 février 1671/72, p. 3075–3087. (cité au § Le mot « spectre » et l’analogie lumineuse)
- Joseph Fourier, Théorie analytique de la chaleur, Paris, Firmin Didot père et fils, 1822. (cité aux § Une entrée, une sortie et Annexe : Théorème de Fourier)
- Jacob Millman, « A Useful Network Theorem », Proceedings of the IRE, vol. 28, n° 9, septembre 1940, p. 413–417. (cité au § Autopsie de l’effet de charge et formule de Millman)
Compléments théoriques :
- Bruce Carter, « High-speed notch filters », Texas Instruments Analog Applications Journal, 1Q 2006, p. 19–24, document SLYT230. (cité au § Le filtre réjecteur double-T)

Qu’est-ce qu’un filtre ?

Les quatre grandes réponses fréquentielles en amplitude ou les différentes façons de sélectionner les fréquences et le déphaseur sélectif.

Une cinquième réponse à part : le filtre passe-tout, ou réseau déphaseur

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2. La solution active : l’étage tampon suiveur à AOP (découplage idéal)

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Pour aller plus loin : et si l’on observait ces filtres avec un axe des fréquences linéaire ?

Le second ordre : ne confondons plus f_0, f_c et f_r, explications sur \xi, \omega et Q

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De passe-bas à passe-haut

Le passe-bas passif RLC du second ordre

Le passe-haut passif RLC du second ordre

Les passe-bande passifs RC

Le passe-bande passif RLC

Le filtre réjecteur double-T

Quand choisir un filtre passif ?

Des filtres passifs aux intégrateurs pratiques

Le piège de l’intégrateur idéal et les solutions pratiques

Conclusion et perspectives

Annexe : Le théorème de Fourier et la décomposition spectrale

1. Pour un signal périodique : la série de Fourier

2. Pour un signal non périodique : la transformée de Fourier

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