Los filtros pasivos y activos — Primera parte – L'atelier de la Tech par Bastien

¿Qué es un filtro?

Todo el mundo ha utilizado ya un filtro en su vida cotidiana. El más familiar es sin duda el filtro de la cafetera de la mañana: retiene mecánicamente las partículas insolubles del café molido (el concho o la borra) y deja pasar la preciada y oscura bebida.

**Fig. 1** — Analogía entre un filtro de café y un filtro electrónico

En electrónica, nos enfrentamos de manera permanente a la misma necesidad de clasificar y seleccionar. Cuando usted extiende una antena en el aire o conecta un cable de audio, miles de señales coexisten simultáneamente: las frecuencias portadoras de la voz de un locutor de radio, el zumbido a 50 Hz o 60 Hz de la red eléctrica, las interferencias de una fuente conmutada cercana, el encendedor de gas de la vecina, la moto ruidosa del vecino joven y el ruido térmico de fondo. El papel del filtro electrónico es actuar como un agente aduanero selectivo: deja pasar intactas las frecuencias deseadas y bloquea sin piedad las frecuencias indeseables.

Pero atención: esta selección jamás funciona como un interruptor mágico de «todo o nada». En el mundo real de los componentes analógicos, no existe una frontera tajante como una cuchilla donde una señal de 999 Hz pase al 100 % para desaparecer instantáneamente a 1 001 Hz. Un filtro electrónico no corta de golpe: atenúa gradualmente. Entre la zona donde la señal circula sin obstáculos (la banda de paso) y aquella donde termina casi sofocada (la banda de atenuación), el circuito presenta siempre una zona de transición continua, cuya pendiente desciende más o menos rápido según la arquitectura del circuito, su complejidad y el número de etapas involucradas.

En resumen, un filtro electrónico es un circuito que moldea la señal modificando su amplitud (la fuerza de la tensión, a través de su ganancia) y su desfase (su ajuste en el tiempo) en función directa de la frecuencia que lo atraviesa.

**Fig. 2** — Regla fundamental: acción continua de un filtro lineal sobre la amplitud y la fase

Los filtros no están reservados para aparatos especializados o misteriosos: se ocultan ya en el corazón de la gran mayoría de los montajes electrónicos cotidianos, ¡a menudo sin que siquiera hayamos intentado construir un «filtro» en sentido estricto!

Tomemos tres ejemplos muy concretos del día a día:

A la entrada de un amplificador de audio: para evitar que una tensión continua indeseable (proveniente de una fuente de audio o de un sensor) sature el amplificador, se inserta un condensador de acoplamiento (o de enlace) en serie (que actúa como una compuerta estanca que bloquea la corriente continua mientras deja pasar libremente las señales de las ondas sonoras). Justo detrás, una resistencia de polarización conecta el circuito a tierra (masa) para fijar un potencial de reposo estable. Sin haberlo planeado, la unión de este condensador y esta resistencia forma un filtro pasa-altas natural, ¡que elimina la componente continua de la señal y deja pasar la música!
En una fuente de alimentación de laboratorio: después de transformar y rectificar (o conmutar a alta frecuencia) la tensión de la red eléctrica, la señal obtenida sigue estando ondulada y llena de rizado. Varios condensadores actúan entonces como un tanque de almacenamiento de energía y forman un filtro pasa-bajas que reduce drásticamente dicha ondulación. La tensión obtenida nunca es perfectamente plana: subsiste un rizado residual, al que pueden sumarse ruidos e interferencias transitorias; la regulación situada después del filtrado puede atenuarlos aún más.
En un temporizador o una luz intermitente: la resistencia frena la corriente y el condensador tarda cierto tiempo en llenarse. Este tiempo de carga funciona como un reloj de arena electrónico para crear un retardo de espera (por ejemplo, apagar una luz de cortesía después de 30 segundos o marcar el compás de un destello). Esta velocidad de llenado se mide mediante la constante de tiempo, designada tradicionalmente por la letra griega tau minúscula ( $\tau$ ), igual al producto directo $\tau = R \times C$ (expresada en segundos cuando $R$ está en ohmios y $C$ en faradios). ¡Es precisamente este ritmo temporal $\tau$ el que fijará más adelante las frecuencias de corte de varios de nuestros filtros!

En otras palabras, cualquiera que conecte componentes ya está manipulando filtros sin saberlo. Comencemos, pues, explorando sus cuatro rostros cardinales.

Cuatro formas de seleccionar frecuencias y una quinta para modificar la fase

En primer lugar, ¿qué llamamos con exactitud el espectro?

La palabra proviene del latín spectrum, que designaba una «apariencia» o una «aparición». En el siglo XVII, Isaac Newton (Newton, 1672) la empleó en óptica para nombrar la imagen coloreada y alargada obtenida cuando un haz de luz blanca es descompuesto por un prisma. Su texto está fechado el 6 de febrero de 1671/72 según el calendario inglés de la época y fue publicado el 19 de febrero de 1671/72 en las Philosophical Transactions, es decir, en 1672 según nuestro calendario actual. Posteriormente, el término se extendió, por analogía, al estudio de los sonidos, de las señales eléctricas y de numerosos otros fenómenos físicos.

En electrónica, el espectro frecuencial de una señal representa las distintas frecuencias que componen dicha señal y su importancia relativa:

una sinusoide ideal de frecuencia $f_0$ contiene una única componente frecuencial: en la representación habitual de frecuencias positivas, su espectro presenta una sola línea (o raya) en $f_0$ ;
una señal periódica compleja, como una onda cuadrada, contiene una frecuencia fundamental acompañada de armónicos;
una voz, un sonido musical real o un ruido distribuye su energía a lo largo de un rango más o menos amplio de frecuencias;
una eventual componente continua, igual al valor promedio de la señal, queda representada por una línea en $0\ \text{Hz}$ .

**Fig. 3** — Comprender la componente continua a 0 Hz en el espectro y el comportamiento de los componentes

Para formarnos una primera imagen mental, imaginemos un teclado ideal en el que cada tecla produjera una única frecuencia pura. El espectro indicaría entonces qué teclas están pulsadas y con qué intensidad. La analogía tiene, sin embargo, sus límites: una nota real de piano contiene en sí misma una frecuencia fundamental y numerosos armónicos.

**Fig. 4** — Comprender la fundamental, los armónicos y el origen del timbre sonoro

El espectro permite así contemplar una señal desde otro ángulo: en lugar de observar en un osciloscopio cómo evoluciona su tensión a lo largo del tiempo, descubrimos la «receta» de las frecuencias que la constituyen.

Según la región del espectro que deseemos favorecer o, por el contrario, atenuar, distinguimos cuatro grandes tipos de respuestas en amplitud:

El filtro pasa-bajas transmite la componente continua y las bajas frecuencias con una atenuación mínima, para luego atenuar progresivamente las frecuencias elevadas más allá de su zona de transición. Se utiliza en particular para el suavizado de fuentes y la reducción de ruidos e interferencias de alta frecuencia.
El filtro pasa-altas atenúa fuertemente la componente continua y las bajas frecuencias, al tiempo que transmite las frecuencias más altas con baja atenuación. Se emplea sobre todo para bloquear tensiones continuas, acoplar dos etapas consecutivas o reducir derivas muy lentas.
El filtro pasa-banda favorece un rango comprendido entre una frecuencia baja $f_1$ y una frecuencia alta $f_2$ , mientras atenúa las frecuencias situadas a ambos lados. En un receptor de radio, un filtro pasa-banda contribuye a sintonizar y aislar la emisora o el canal buscado.
El filtro rechaza-banda, o supresor de banda, presenta el comportamiento complementario: atenúa un rango determinado mientras transmite las frecuencias inferiores y superiores. Cuando la banda rechazada es sumamente estrecha, se denomina filtro de muesca o notch. Puede, por ejemplo, reducir un zumbido de $50\ \text{Hz}$ o $60\ \text{Hz}$ , limitando su impacto sobre el resto de la señal de audio o instrumentación.

El paso de una banda a otra depende notablemente del orden del filtro, es decir, del grado del denominador de su función de transferencia tras ser simplificada. Para un pasa-bajas convencional sin ceros compensadores, cada polo adicional incrementa en 20 dB/década la pendiente asintótica de atenuación.

Una quinta respuesta particular: el filtro pasa-todo, o red desfasadora

Existe una quinta familia, de apariencia paradójica: el filtro pasa-todo, o red desfasadora (all-pass filter). A diferencia de las cuatro anteriores, no corta ninguna frecuencia ni modifica la amplitud de la señal. ¿Por qué, entonces, considerarlo un filtro? Porque su fase, en cambio, varía con la frecuencia: desfasa en el tiempo ciertas componentes de la señal con respecto a otras, sin atenuar ninguna de ellas.

En una cabina acústica o bafle de varias vías, por ejemplo, los diferentes altavoces (parlantes) y los filtros de cruce (crossover) introducen desfases desiguales. Una red pasa-todo puede corregir su alineación temporal en torno a la frecuencia de empalme. También se utiliza para generar efectos de audio tipo phaser o en ciertos osciladores en cuadratura.

Detallaremos su formulación matemática y su comportamiento en fase más adelante en este artículo, una vez tengamos listas las herramientas necesarias.

Varias formas de realizar un mismo filtrado

Frente a los requerimientos de un diseño de filtrado, el ingeniero dispone de tres grandes caminos tecnológicos:

El filtro pasivo: constituido exclusivamente por componentes sin fuente de energía interna (resistencias, condensadores, inductores y transformadores). No consume ninguna alimentación auxiliar, tolera niveles de potencia muy altos (aunque los núcleos magnéticos de las bobinas pueden saturarse con corrientes elevadas) y no requiere semiconductores, pero no puede amplificar la señal y sus bobinas se vuelven voluminosas y pesadas a bajas frecuencias.
El filtro activo: asocia resistencias y condensadores a un componente activo amplificador (un transistor o un amplificador operacional, abreviado AOP en este artículo). Permite diseñar numerosos filtros sin bobinas en bajas frecuencias, ajustar la ganancia y ofrecer una impedancia de entrada sumamente alta junto a una impedancia de salida prácticamente nula.
El filtro digital: la señal analógica es muestreada y digitalizada mediante un conversor ADC, procesada a través de algoritmos matemáticos en un microcontrolador, un DSP o una FPGA, y restituida finalmente por un conversor DAC.

Esta serie está consagrada al arte del filtrado: comenzamos aquí por las bases físicas y los circuitos pasivos (Parte 1), antes de explorar las estructuras activas con amplificadores operacionales (Parte 2), las grandes aproximaciones polinomiales de orden superior (Parte 3), y finalmente los filtros de condensadores conmutados y digitales (Parte 4).

Una entrada, una salida y una función de transferencia

💡 Aviso para la lectura — Formalismo matemático
Esta sección establece el marco teórico y matemático riguroso del filtrado (transformada de Laplace, variable operacional $p$ , función de transferencia, cálculo de impedancias complejas, polos, ceros y relieve 3D). No es estrictamente indispensable para comprender el funcionamiento físico y concreto de los circuitos en el banco de trabajo, pero constituye la base fundamental del procesamiento de señales y encuentra de forma natural su lugar aquí en la progresión lógica.

Si usted prefiere descubrir directamente el comportamiento práctico de los montajes electrónicos, puede saltarse esta parte sin perder el hilo de la comprensión e ir de inmediato a la sección: El filtro pasa-bajas de primer orden: la celda RC.

En este artículo, nos situamos en el marco de los sistemas lineales e invariantes en el tiempo (denominados LTI). ¿Por qué resulta tan valiosa esta suposición? Porque gracias al teorema de Fourier (Fourier, 1822; ver el anexo al final del artículo), cualquier señal compleja —bien sea la voz humana, el golpe de un platillo o una onda cuadrada— puede descomponerse en una suma de sinusoides puras. Y la propiedad fundamental de un sistema lineal es la siguiente: una sinusoide que entra a una frecuencia $f$ sale exactamente a la misma frecuencia $f$ , simplemente atenuada o amplificada y eventualmente desplazada en el tiempo. El filtro no crea ninguna frecuencia nueva. Consecuencia directa: si sabemos cómo procesa el filtro cada sinusoide individual, sabremos cómo procesa cualquier señal arbitraria, puesto que toda señal no es más que una suma de sinusoides.

Esto es justamente lo que deja de cumplirse en un sistema no lineal (un amplificador que satura, un diodo, un transistor fuera de su zona activa): allí, una sinusoide pura a 440 Hz puede generar armónicos a 880 Hz, 1 320 Hz, etc., que no existían en la señal de entrada —esto es la distorsión armónica. En un sistema lineal, este fenómeno es por definición imposible.

El comportamiento íntegro del filtro queda resumido por su función de transferencia $H(p)$ (la fórmula matemática que describe cómo transforma el circuito la amplitud y la fase), que vincula la tensión de salida $V_s$ (el subíndice $s$ por salida) con la tensión de entrada $V_e$ (el subíndice $e$ por entrada) en el dominio operacional:

H(p)=\frac{V_s(p)}{V_e(p)} \qquad\Longleftrightarrow\qquad V_s(p) = H(p) \cdot V_e(p)

**Fig. 5** — Esquema canónico de un cuadripolo lineal y de su función de transferencia H(p)

En otras palabras, $H(p)$ es el cociente entre «lo que sale» y «lo que entra». En la literatura en inglés, las mismas magnitudes se denotan habitualmente como $V_{\text{in}}$ (input, entrada) y $V_{\text{out}}$ (output, salida), o en ocasiones $V_I$ y $V_O$ —cuidando de no confundir la $I$ de Input con la corriente $I$ , ni la $O$ de Output con el número cero.

En numerosos textos y programas de formación técnica en francés —especialmente en electrónica y control— la variable compleja de Laplace se denota tradicionalmente por $p$ . La literatura técnica en inglés y en América Latina suele emplear la letra $s$ , notación estándar en programas de simulación (SPICE, MATLAB). ¿Por qué recurrir a Laplace? Porque convierte el cálculo diferencial (las ecuaciones que describen cómo varía una magnitud de instante en instante bajo la acción de condensadores y bobinas) en simple álgebra: con condiciones iniciales nulas, derivar una señal respecto al tiempo (derivar = medir la velocidad de variación de instante en instante) equivale simplemente a multiplicarla por $p$ ( $\mathcal{L}\{\mathrm{d}x/\mathrm{d}t\} = pX(p)$ ), e integrar (integrar = acumular a lo largo del tiempo) equivale a dividirla por $p$ ( $\mathcal{L}\{\int_0^t x(\tau)\,\mathrm{d}\tau\} = X(p)/p$ ).

Para obtener la respuesta del circuito en régimen senoidal permanente (el régimen permanente significa que la señal oscila desde hace suficiente tiempo como para que cualquier fenómeno transitorio inicial se haya extinguido) a la pulsación $\omega$ , evaluamos su función de transferencia sobre el eje imaginario haciendo $p = j\omega$ , donde:

$j$ representa la unidad imaginaria ( $j^2 = -1$ ), denotada $i$ en matemáticas puras pero $j$ en ingeniería eléctrica y electrónica, para evitar confusiones con la corriente eléctrica instantánea $i(t)$ ;
$\omega$ (letra griega omega minúscula) es la pulsación, expresada en radianes por segundo ( $\text{rad/s}$ ), directamente vinculada a la frecuencia $f$ (en hercios, es decir, ciclos por segundo) por:

\omega=2\pi f

Para una sinusoide de pulsación $\omega > 0$ en régimen permanente, el operador de integración ideal $1/p$ se convierte en $1/(j\omega) = -j/\omega$ : la amplitud del resultado queda dividida por la pulsación $\omega$ y su fase experimenta un desfase constante de $-90^\circ$ (un retraso de un cuarto de período, ya que $1/j = -j = e^{-j90^\circ}$ ). Del mismo modo, el operador de derivación ideal $p$ se convierte en $j\omega$ : la amplitud se multiplica por $\omega$ y la fase experimenta un desfase de $+90^\circ$ (un adelanto de un cuarto de período, ya que $j = e^{+j90^\circ}$ ). Estos desfases de $\pm 90^\circ$ son estrictos y constantes para los operadores matemáticos puros y los componentes reactivos ideales ( $C$ y $L$ ); en un filtro completo que asocia resistencias y condensadores (como nuestra celda RC), la presencia de la resistencia hará variar la fase de forma continua y gradual desde $0^\circ$ hasta $-90^\circ$ a medida que la frecuencia aumenta.

**Fig. 6** — Transformación de una señal por un filtro lineal: amplitud, desfase y conservación de frecuencia

Es exactamente de este modo como se establece la expresión de las impedancias complejas (impedancia = resistencia que varía con la frecuencia), designadas tradicionalmente por la letra mayúscula $Z$ (la oposición generalizada que un componente presenta al paso de la corriente alterna, indexada por el tipo de componente: $Z_C$ para un condensador, $Z_L$ para un inductor o bobina, y $Z_R = R$ para una resistencia):

Z_C(p) = \frac{1}{pC} \quad\Longrightarrow\quad Z_C(j\omega) = \frac{1}{jC\omega} = -\frac{j}{C\omega}

Z_L(p) = pL \quad\Longrightarrow\quad Z_L(j\omega) = jL\omega

(Atención, no obstante, a frecuencia nula $\omega = 0$ : el factor $1/(j\omega)$ tiende al infinito. Una componente continua de $0\ \text{Hz}$ integrada no produce una sinusoide permanente, sino una rampa que crece indefinidamente con el tiempo —esta es la trampa de la deriva del integrador puro que examinaremos más adelante).

El empleo de la pulsación $\omega$ simplifica notablemente la escritura de estas impedancias al ahorrarnos tener que escribir el factor $2\pi$ en cada línea de cálculo.

Es crucial no confundir resistencia con impedancia:

Una resistencia pura $R$ (en ohmios $\Omega$ ) se opone al paso de la corriente exactamente de la misma manera sin importar la frecuencia: disipa de forma irreversible la energía eléctrica en calor por efecto Joule ( $P = R I^2$ ) y no produce ningún desfase entre la tensión y la corriente.
La impedancia compleja $Z = R + jX$ (en ohmios \Omega) es el concepto general que engloba a todos los componentes. Su parte imaginaria $X$ se denomina reactancia (la oposición a la corriente alterna que almacena y devuelve energía sin disiparla):
- La reactancia capacitiva del condensador ( $X_C = -\dfrac{1}{C\omega} < 0$ ): almacena energía en forma de campo electrostático y disminuye a medida que la frecuencia sube (retraso de tensión de $90^\circ$ respecto a la corriente);
- La reactancia inductiva de la bobina ( $X_L = L\omega > 0$ ): almacena energía en forma de campo magnético y aumenta proporcionalmente con la frecuencia (adelanto de tensión de $90^\circ$ respecto a la corriente).

A diferencia de la resistencia, que consume energía y la degrada en calor, las reactancias (capacitiva e inductiva) se limitan a intercambiar energía periódicamente con el resto del circuito. Toda resistencia es una impedancia particular (con reactancia nula $X = 0$ ), pero no toda impedancia es una simple resistencia.

Obtenemos entonces la respuesta armónica en frecuencia (lo que el filtro «responde» —en amplitud y en desfase— cuando se le inyecta una sinusoide a cada frecuencia):

H(j\omega)=|H(j\omega)|e^{j\varphi(\omega)}

Esta ecuación condensa dos informaciones indispensables:

El módulo $|H(j\omega)|$ —la magnitud del número complejo— indica la ganancia en tensión: en cuánto atenúa o amplifica el filtro la sinusoide.
El argumento $\varphi(\omega)$ (letra griega fi) —el ángulo del número complejo— es el desfase: el adelanto ( $\varphi > 0$ ) o el retraso ( $\varphi < 0$ ) de la señal de salida respecto a la de entrada.

Para representar con comodidad variaciones de amplitudes astronómicas (de 1 a 1 000 000) y ajustarse a la sensibilidad logarítmica del oído humano (la ley de Weber-Fechner y la psicoacústica de la audición: para duplicar la sensación sonora percibida, se requiere aproximadamente multiplicar por diez la potencia acústica, es decir, unos $+10\ \text{dB}$ —un tema que exploraremos en el dosier sobre loudness, la compensación de la sonoridad percibida—), se expresa tradicionalmente la ganancia en decibeles ( $\text{dB}$ ):

G_{\mathrm{dB}}(\omega)=20\log_{10}|H(j\omega)|

¿Por qué este coeficiente de $20$ ? Porque la potencia eléctrica transmitida es proporcional al cuadrado de la tensión ( $P = V^2 / R$ ). Para una relación de tensiones comparada sobre una impedancia idéntica —o con una impedancia de referencia constante— un módulo de $1/\sqrt{2} \approx 0{,}707$ corresponde a una potencia dividida a la mitad, lo que arroja en decibeles: $10\log_{10}(0{,}5) = 20\log_{10}(1/\sqrt{2}) \approx -3{,}01\ \text{dB}$ .

A esto se le denomina el punto a $-3\ \text{dB}$ , a veces llamado punto de media potencia. Esta segunda denominación exige una precaución: una disminución de tensión por un factor de $1/\sqrt{2}$ equivale a una potencia dividida a la mitad únicamente cuando las tensiones se miden sobre una misma impedancia de referencia o sobre impedancias idénticas. En una curva de ganancia en tensión, el hecho que siempre es válido es este: el módulo vale $1/\sqrt{2}\approx0{,}707$ de su valor de referencia. La frecuencia correspondiente a este punto define la frecuencia de corte ( $f_c$ ), que sirve de frontera convencional para la banda de paso.

**Fig. 7** — Ilustración del punto a −3 dB sobre la curva de respuesta de un filtro pasa-bajas

(Esta curva de respuesta se presenta aquí a título de ejemplo introductorio sobre un filtro pasa-bajas sencillo para visualizar la frontera de corte y la división de potencia. El montaje electrónico correspondiente, el cálculo de su función de transferencia y su curva de fase se explicarán con todo detalle más adelante en este artículo).

El orden de un filtro, los polos y los ceros: los secretos de la fracción

Cuando los ingenieros calculan la función de transferencia $H(p)$ de un filtro (la fórmula que acabamos de ver que expresa la relación «tensión de salida / tensión de entrada»), obtienen siempre una fracción matemática con un numerador en la parte superior y un denominador en la parte inferior:

H(p) = \frac{\text{Numerador}(p) \quad (\text{arriba})}{\text{Denominador}(p) \quad (\text{abajo})}

Esta fracción encierra tres conceptos fundamentales que dictan por completo el comportamiento y la personalidad del filtro:

El orden del filtro (cuántos almacenamientos de energía independientes intervienen):
El orden corresponde al grado del polinomio situado en el denominador (abajo) una vez simplificada la fracción al máximo, habiendo eliminado los eventuales factores comunes entre numerador y denominador:
- Si la mayor potencia es $p^1$ —es decir, simplemente $p$ —, el filtro es de primer orden: su dinámica involucra una sola variable independiente de almacenamiento de energía, como la de un condensador $C$ en una celda RC o la de una bobina de inductancia $L$ en un circuito RL;
- Si la mayor potencia es $p^2$ , el filtro es de segundo orden: su dinámica involucra dos variables independientes de almacenamiento de energía, como las de dos condensadores en dos celdas RC en cascada, o las de una bobina $L$ y un condensador $C$ en un circuito RLC resonante;
- Si la mayor potencia del denominador es $p^3, p^4 \dots$ , se habla de filtro de tercer orden, de cuarto orden, y así sucesivamente. En la práctica, estos filtros suelen construirse asociando varias celdas de primer y segundo orden.
El número de elementos reactivos independientes fija el orden máximo que el circuito puede alcanzar. Su orden efectivo puede, no obstante, ser menor según su interconexión o en caso de simplificaciones algebraicas entre el numerador y el denominador.
Para un filtro pasa-bajas clásico de «todos los polos» (all-pole), cuyo numerador es constante, cada polo aporta asintóticamente una pendiente adicional de $-20\ \text{dB/década}$ , es decir, aproximadamente $-6\ \text{dB/octava}$ (exactamente $-6{,}02\ \text{dB/octava}$ ). Un pasa-bajas de orden $n$ presenta por tanto, a frecuencias suficientemente altas, una pendiente asintótica de $-20n\ \text{dB/década}$ :
- Orden 1: $-20\ \text{dB/década}$ , aproximadamente $-6\ \text{dB/octava}$ ;
- Orden 2: $-40\ \text{dB/década}$ , aproximadamente $-12\ \text{dB/octava}$ ;
- Orden 3: $-60\ \text{dB/década}$ , aproximadamente $-18\ \text{dB/octava}$ .
(Esta pendiente asintótica no se alcanza instantáneamente justo en la frecuencia de corte $f_c$ , sino únicamente cuando la frecuencia se encuentra suficientemente alejada más allá de las frecuencias características de los distintos polos).
Los polos (donde el denominador se anula):
¿Qué ocurre si buscamos los valores particulares de $p$ que hacen que el denominador (abajo) sea igual a cero? En el punto exacto donde el denominador se anula, la función no está definida. Pero a medida que $p$ se aproxima a dicho punto, el denominador tiende a cero y el módulo $|H(p)|$ tiende a infinito: ese punto es un polo.
¿Por qué se habla de «3D» y por qué la palabra «polos»?
La variable de Laplace $p$ es un número complejo que posee dos coordenadas «en el plano del suelo» (la parte real $\sigma$ y la parte imaginaria $\omega$ ), formando un plano bidimensional como una hoja de papel sobre una mesa. Si trazamos por encima de esta mesa una tercera dimensión —la altitud vertical— que represente el valor de la ganancia $|H(p)|$ , obtenemos un auténtico paisaje en relieve tridimensional (3D).
En cada lugar donde el denominador se hace cero, la superficie no se queda plana: es jalada bruscamente hacia el cielo para formar una punta infinitamente alta. En inglés, la palabra pole designa el mástil de un barco, un poste o el soporte de una carpa. Estos picos invisibles sostienen toda la «lona» de la respuesta del circuito, ¡exactamente como los mástiles que levantan una carpa de circo!
Y cuando probamos nuestro filtro con señales senoidales en el laboratorio en régimen permanente, simplemente caminamos a lo largo del eje imaginario $p = j\omega$ trazado en el plano horizontal, es decir, sobre la línea donde $\sigma = 0$ : la curva que dibujamos en nuestro cuaderno no es más que un corte (una rebanada 2D) en esa gran lona de carpa. Si un mástil está clavado muy cerca de nuestra línea de paso, la lona se eleva muchísimo y hace brotar un lomo de resonancia; si está clavado lejos hacia la izquierda, la lona desciende suave y sin protuberancias. Son, por lo tanto, estos polos los que deciden si el filtro es suave, veloz u oscilatorio.
Los ceros (donde el numerador se anula):
Por el contrario, si encontramos valores de $p$ que hacen que el numerador (arriba) sea igual a cero, la fracción completa cae a cero ( $0 / \text{Denominador} = 0$ ).
En nuestra carpa 3D, la lona toca directamente el suelo (formando un embudo o una hondonada que baja hasta la altitud cero $|H|=0$ , identificada por un pequeño círculo blanco en el suelo). Cuando uno de estos ceros se ubica exactamente sobre nuestra línea de medición (el eje imaginario $p = \pm j\omega_0$ ), la señal de entrada a esa frecuencia queda totalmente bloqueada y nada sale del filtro ( $V_s = 0$ ). Estos valores se llaman de manera muy natural ceros. Es el principio fundamental empleado en los filtros rechaza-banda para eliminar una frecuencia parásita específica (como el zumbido de 50 Hz o 60 Hz de la red eléctrica). (Y si un cero coincide exactamente en la misma posición que un polo, sus efectos se cancelan mutuamente: la fracción se simplifica).

La siguiente ilustración toma como ejemplo la función normalizada:

H(p) = \frac{p}{(p+1)^2 + 4}

Posee un cero en el origen $z_1 = 0$ : sobre el eje frecuencial $p = j\omega$ , esto significa que $H(j0) = 0$ , por lo que la componente continua queda bloqueada. Sus dos polos conjugados $p_{1,2} = -1 \pm j2$ producen los dos picos del relieve.

**Fig. 8** — Superficie 3D del módulo de una función de transferencia con dos polos, un cero en el origen y seis cortes a parte real constante

Lectura del relieve: seis cortes para comprender el comportamiento de la ganancia

Para visualizar con claridad cómo este relieve 3D estructura toda la respuesta del filtro, el gráfico presenta seis cortes paralelos trazados a parte real $\sigma$ constante:

\sigma = 0,\;-0{,}5,\;-0{,}8,\;-1,\;-1{,}2,\;-1{,}5

Estas secciones transversales permiten observar la evolución del perfil a medida que nos desplazamos en el plano complejo:

$\sigma = 0$ (corte ámbar): es nuestro mundo físico habitual, la respuesta armónica $H(j\omega)$ medida en el laboratorio en régimen senoidal permanente a lo largo del eje imaginario.
$\sigma = -0{,}5$ y luego $\sigma = -0{,}8$ (cortes violeta y magenta): deslizándonos hacia la izquierda, nos aproximamos a la posición de los polos. Las dos elevaciones comienzan a erguirse con fuerza sobre el plano.
$\sigma = -1$ (corte rojo coral): la sección pasa exactamente por la abscisa de los dos polos conjugados ( $p_{1,2} = -1 \pm j2$ ). Cuando $p$ se aproxima a uno de los dos polos, el módulo $|H(p)|$ tiende a infinito. En el punto exacto del polo, la función ya no está definida; por ello los picos aparecen truncados en el gráfico.
$\sigma = -1{,}2$ y luego $\sigma = -1{,}5$ (cortes verde y azul): cuando seguimos avanzando hacia la izquierda superando los polos, la superficie vuelve a bajar y los lomos se aplanan progresivamente.

Para la función normalizada mostrada en la ilustración, la fórmula del módulo hace evidente esta geometría:

|H(p)| = \frac{|p|}{|p-p_1|\,|p-p_2|}

En términos geométricos sencillos: cada término $|p - p_k|$ mide la distancia euclidiana entre el punto de prueba $p$ y el polo $p_k$ en el plano complejo. Cuanto más disminuye esta distancia, más tiende a cero el denominador y más explota la ganancia $|H(p)|$ hacia las alturas. Inversamente, el término $|p|$ en el numerador mide la distancia al cero situado en el origen ( $p = 0$ ), el cual ancla la lona directamente al nivel del suelo.

¿Y la fase? Por qué el relieve 3D no lo muestra todo

Este paisaje 3D representa exclusivamente el módulo $|H(p)|$ (la amplitud de la señal). No muestra la fase $\arg H(p)$ (el desfase entre la salida y la entrada). Ahora bien, la fase obedece a una dinámica geométrica diferente: rebasar un polo hacia la izquierda no produce automáticamente un giro completo de fase.

Para la contribución de un polo simple $p_k$ situado en el denominador:

\arg\left(\frac{1}{p-p_k}\right) = -\arg(p-p_k)

La fase global de la función de transferencia completa resulta de la suma algebraica de las fases de cada cero y polo:

\arg H(p) = \arg K + \sum_i \arg(p-z_i) - \sum_k \arg(p-p_k)

El comportamiento de la fase depende entonces estrechamente de la trayectoria seguida alrededor de la singularidad:

Si atravesamos exactamente el polo en línea recta: la función $H(p)$ es indefinida en el cruce ( $1/0$ ) y la fase experimenta localmente una discontinuidad brusca de $180^\circ$ ( $\pi\text{ rad}$ ).
Si rodeamos completamente el polo (un bucle cerrado pequeño que encierra únicamente ese polo): según el teorema del argumento de Cauchy, el vector $(p - p_k)$ efectúa una rotación completa de $+360^\circ$ , lo que impone a su contribución de fase un giro completo de $-360^\circ$ ( $-2\pi\text{ rad}$ ).
Si simplemente pasamos a la izquierda sin atravesar el polo: la fase evoluciona de manera perfectamente continua, en una cantidad finita que depende de la distancia y del trayecto específico recorrido.

Como el diagrama 3D solo muestra la altura $|H(p)|$ , se requeriría una segunda representación gráfica —como un mapa coloreado de fase (domain coloring) o una superficie de argumento $\arg H(p)$ — para visualizar este comportamiento angular en el plano complejo.

El filtro pasa-bajas de primer orden: la celda RC

Para comprender la mecánica íntima de un filtro, comencemos por el montaje más elemental y universal que existe: una resistencia $R$ seguida de un condensador $C$ .

**Fig. 9** — Celda RC pasa-bajas seguida de un amplificador operacional en seguidor de tensión

Este circuito forma un divisor de tensión elemental (dos componentes en serie entre los cuales la tensión de entrada se reparte en función de la frecuencia, proporcionalmente a sus impedancias respectivas). Pero mientras que un divisor resistivo normal compuesto por dos resistencias divide la tensión de manera constante sin importar la frecuencia, aquí, una de las dos ramas está constituida por un componente cuya impedancia —la oposición compleja al paso de la corriente alterna, caracterizada por un módulo y una fase— depende de la pulsación ( $\omega = 2\pi f$ ):

Z_C=\frac{1}{jC\omega}

Veamos qué ocurre físicamente:

En corriente continua ( $f = 0\ \text{Hz}$ , $\omega = 0$ ): el dieléctrico aislante del condensador es una barrera infranqueable. Su impedancia es infinita ( $Z_C \to \infty$ ), comportándose como un circuito abierto. Ninguna corriente circula por la resistencia $R$ , la caída de tensión en sus extremos es nula: la totalidad de la tensión de entrada se transfiere a la salida ( $V_s = V_e$ , la ganancia vale $1$ , es decir, $0\ \text{dB}$ ).
A muy altas frecuencias ( $f \to \infty$ ): el condensador se carga y descarga a una velocidad vertiginosa. Su impedancia se desploma ( $Z_C \to 0$ ), convirtiéndose en el equivalente de un cortocircuito hacia tierra. La tensión de salida se aplasta hacia cero.

Aplicando la fórmula del divisor de tensión (estudiada en detalle en el curso Módulo 1, Lección 05 — Resistencias en serie y en paralelo):

V_s=V_e\frac{Z_C}{R+Z_C}

de donde se desprende la función de transferencia armónica:

H(j\omega)=\frac{V_s}{V_e}=\frac{\dfrac{1}{jC\omega}}{R+\dfrac{1}{jC\omega}}=\frac{1}{1+jRC\omega}

y, en el dominio de Laplace:

H(p)=\frac{1}{1+pRC}

La forma canónica general (forma canónica = escritura matemática estandarizada universal que hace aparecer directamente las magnitudes físicas clave: ganancia estática, frecuencia de corte y constante de tiempo) de un filtro pasa-bajas de primer orden se expresa como:

H(p)=\frac{k\omega_c}{p+\omega_c} = \frac{k}{1 + \dfrac{p}{\omega_c}}

donde:

$k$ es la ganancia estática (la ganancia medida en continua, a frecuencia cero $f = 0\ \text{Hz}$ —aquí $k=1$ para nuestra celda pasiva, lo que significa que la señal continua atraviesa el circuito sin ninguna atenuación, es decir, $0\ \text{dB}$ );
$\omega_c$ es la pulsación de corte (expresada en $\text{rad/s}$ ), directamente inversa a la constante de tiempo $\tau = RC$ (el tiempo característico de carga del condensador a través de la resistencia: $\tau = RC$ );
$f_c$ es la frecuencia de corte (expresada en $\text{Hz}$ ), que constituye el punto de referencia convencional que separa la banda de paso de la banda atenuada y corresponde a la abscisa del punto a $-3\ \text{dB}$ descubierto en la introducción:

\omega_c = \frac{1}{RC} = \frac{1}{\tau} \qquad ; \qquad f_c = \frac{\omega_c}{2\pi} = \frac{1}{2\pi RC}

**Fig. 10** — Ganancia y fase de un filtro pasa-bajas RC de primer orden

Examinemos lo que sucede con precisión a esta frecuencia de corte $f = f_c$ (en el punto a $-3\ \text{dB}$ , donde $\omega = \omega_c = 1/RC$ ):
A esta pulsación, la parte real y la parte imaginaria del denominador son rigurosamente iguales ( $1 + j1$ ). El módulo de la función de transferencia vale:

|H(j\omega_c)|=\frac{1}{|1+j1|}=\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt2}\approx0{,}707

lo que corresponde exactamente al punto a $-3{,}01\ \text{dB}$ . Sobre una misma impedancia de referencia, esta relación de tensiones equivale también a una potencia reducida a la mitad.
En el aspecto del desfase, al valer $+45^\circ$ el ángulo de $1+j1$ en el denominador, la fase de salida es de exactamente $-45^\circ$ en el modelo ideal (un retraso de un octavo de período).

En síntesis, la respuesta de un pasa-bajas de primer orden se divide en tres zonas:

Para $f \ll f_c$ (banda de paso): la ganancia permanece muy cercana a $1$ ( $0\ \text{dB}$ ) y la fase es casi nula.
En la frecuencia de corte $f = f_c$ (el punto a $-3\ \text{dB}$ ): la ganancia vale $-3{,}01\ \text{dB}$ respecto a la meseta de la banda de paso y la fase es de $-45^\circ$ .
Para $f \gg f_c$ (banda atenuada): la ganancia desciende en línea recta con una pendiente asintótica de $-20\ \text{dB/década}$ (es decir, $-6\ \text{dB/octava}$ ), y el desfase tiende asintóticamente a $-90^\circ$ (un cuarto de período de retraso).

Nota sobre el montaje: El amplificador operacional configurado como seguidor en el esquema no participa en el filtrado propiamente dicho. Cumple el papel de una etapa búfer (seguidor que evita que la siguiente etapa cargue a la anterior): su gigantesca impedancia de entrada no altera la carga del condensador, y su impedancia de salida prácticamente nula permite excitar la siguiente etapa sin degradar la señal.

Del punto a −3 dB a la plantilla de tolerancia

Acabamos de ver que el punto a $-3\ \text{dB}$ (y la frecuencia de corte $f_c$ asociada) es el punto de referencia principal de un filtro. Resulta muy práctico en el laboratorio, pero en la práctica industrial, esta sola cifra no basta. Tomemos un ejemplo concreto: un filtro pasa-bajas colocado antes de un convertidor analógico a digital que muestrea a $48\ \text{kHz}$ . Se desea conservar la música hasta $20\ \text{kHz}$ sin deformarla, y se requiere que todo lo que supere $24\ \text{kHz}$ esté suficientemente atenuado para no perturbar la digitalización (evitando el fenómeno de aliasing o repliegue espectral). El solo punto a $-3\ \text{dB}$ no dice nada de todo esto: no indica cuánta deformación toleramos en la banda útil ni cuánto hay que suprimir por encima.

Para expresar estos requerimientos, se utiliza una plantilla de tolerancia (o máscara de diseño): un dibujo que fija gráficamente las fronteras y las zonas prohibidas que la respuesta del filtro no tiene permitido invadir. Este principio es universal y se aplica a todas las familias de filtros (pasa-bajas, pasa-altas, pasa-banda, rechaza-banda). Sin importar el tipo de filtro, la plantilla divide el espectro en tres grandes zonas:

La banda de paso (el rango de frecuencias útiles que deben transmitirse con una alteración mínima): está delimitada por sus frecuencias características —por ejemplo, entre las frecuencias $f_1$ y $f_2$ para un filtro pasa-banda, de $0$ a una frecuencia $f_1$ para un pasa-bajas, o de $f_1$ al infinito para un pasa-altas. En esta banda, la ganancia debe mantenerse entre el nivel nominal ( $0\ \text{dB}$ ) y un piso denotado $-A_p$ (la atenuación u ondulación máxima tolerada en la banda de paso, por ejemplo $A_p = 0{,}5\ \text{dB}$ ).
La banda atenuada (el rango de frecuencias indeseables que deben suprimirse): se sitúa fuera de la banda útil (por ejemplo, más allá de una frecuencia $f_2$ para un pasa-bajas, por debajo de una frecuencia $f_1$ para un pasa-altas, o a ambos lados de $[f_1, f_2]$ para un pasa-banda). La ganancia debe permanecer allí por debajo o igual a un techo denotado $-A_a$ (la atenuación mínima exigida, por ejemplo $A_a = 60\ \text{dB}$ , lo que equivale a dividir la tensión entre 1 000).
La banda de transición (el intervalo intermedio que separa la banda de paso de la banda atenuada): es la zona donde el filtro pasa de «dejar circular» a «bloquear». En esta presentación limitada a la plantilla de amplitud, no se impone ninguna forma geométrica estricta entre sus dos fronteras: diversas curvas de respuesta pueden ser válidas, siempre y cuando respeten la tolerancia $A_p$ hasta la frecuencia $f_p$ , y hayan alcanzado la atenuación mínima $A_a$ a partir de la frecuencia $f_a$ .

**Fig. 11** — Plantilla de tolerancia de un filtro pasa-bajas mostrando varias respuestas en frecuencia admisibles

Tomemos el caso clásico de un filtro pasa-bajas (ilustrado arriba):

La frecuencia límite de la banda de paso $f_1$ se denota tradicionalmente $f_p$ (passband);
La frecuencia que marca el inicio de la banda atenuada $f_2$ se denota $f_a$ (attenuation);
La banda de transición se extiende, por ende, entre $f_p$ y $f_a$ .

Una plantilla de tolerancia no define, pues, una única curva de respuesta. Los tres trazados representados en la gráfica anterior tienen perfiles muy distintos (uno progresivo, otro más pronunciado y el tercero ligeramente ondulado), pero todos son admisibles: ninguno de ellos penetra en las zonas prohibidas achuradas en rojo. La plantilla indica lo que es aceptable sin imponer por sí sola la tecnología, el orden ni la aproximación matemática empleados para lograrlo.

El orden del filtro condiciona fuertemente la caída: lejos de la banda de transición, un pasa-bajas de todos los polos (sin ceros de transmisión) de orden $n$ tiende a una pendiente de $-20n\ \text{dB/década}$ . Sin embargo, no basta por sí solo para fijar la forma exacta de la curva entre $f_p$ y $f_a$ . A igual orden, las aproximaciones de Butterworth, Chebyshev, Bessel o elíptica (distintas familias matemáticas de respuesta) no descienden de la misma manera. En un diseño clásico (el cálculo del filtro a partir de las especificaciones requeridas), se elige primero una aproximación y luego se determina el orden mínimo que permite cumplir con la plantilla. Si las especificaciones imponen un orden, este se convierte en una restricción adicional.

En nuestro ejemplo de audio con digitalización a $48\ \text{kHz}$ , el pliego de condiciones exigiría concretamente: una alteración inferior a $A_p = 0{,}5\ \text{dB}$ hasta la frecuencia $f_1 = f_p = 20\ \text{kHz}$ , y una atenuación de al menos $A_a = 60\ \text{dB}$ a partir de la frecuencia $f_2 = f_a = 24\ \text{kHz}$ . El solo punto a $-3\ \text{dB}$ sigue siendo un punto de referencia cómodo en el estudio teórico, pero son estos cuatro parámetros cardinales $(f_1, A_p, f_2, A_a)$ los que definen formalmente la plantilla de amplitud. Las especificaciones completas pueden agregar otros parámetros, como un orden máximo, restricciones de fase (la modificación del tiempo relativo entre frecuencias), retardo de grupo (el tiempo que tarda en propagarse la envolvente de la señal), impedancias de entrada y de salida, tecnología o costos de fabricación.

El filtro pasa-altas de primer orden: la celda CR

¿Qué ocurre si intercambiamos la posición de la resistencia y del condensador?

**Fig. 12** — Celda CR pasa-altas seguida de un amplificador operacional en seguidor de tensión

En esta ocasión, el condensador se sitúa en serie directamente en la trayectoria de la señal, y la salida se toma en los extremos de la resistencia $R$ .

Físicamente, la situación se invierte por completo:

En continua ( $f=0$ ), el condensador bloquea por completo la corriente continua: la tensión de salida es nula ( $V_s = 0$ ).
A altas frecuencias, el condensador se deja atravesar casi sin oponer resistencia ( $Z_C \to 0$ ): la totalidad de la señal aparece en bornes de $R$ ( $V_s \approx V_e$ ).

La función de transferencia armónica se obtiene de inmediato:

H(j\omega)=\frac{R}{R+\dfrac{1}{jC\omega}} =\frac{jRC\omega}{1+jRC\omega}

En el dominio de Laplace:

H(p)=\frac{pRC}{1+pRC}=\frac{p}{p+\omega_c}

El comportamiento es el perfecto simétrico del pasa-bajas:

En la frecuencia de corte $f = f_c$ (en el punto a $-3\ \text{dB}$ ), el módulo de la ganancia vale $1/\sqrt{2}$ (es decir, $-3{,}01\ \text{dB}$ ), y la fase presenta un adelanto de $+45^\circ$ .
Para $f \ll f_c$ , la ganancia aumenta con una pendiente de $+20\ \text{dB/década}$ , y la fase tiende a $+90^\circ$ cuando $f \to 0^+$ .
Para $f \gg f_c$ , la ganancia tiende a $1$ ( $0\ \text{dB}$ ) y el desfase se cancela ( $0^\circ$ ).

Por qué dos celdas idénticas no se suman de manera simple

Una vez que dominamos la celda elemental de primer orden y su pendiente de $-20\ \text{dB/década}$ , surge de inmediato una idea natural en la mente de cualquier aficionado o diseñador: si una celda atenúa a razón de $-20\ \text{dB/década}$ , bastaría con poner dos celdas idénticas una detrás de la otra para conseguir inmediatamente $-40\ \text{dB/década}$ y duplicar la pendiente de caída.

Hagamos la prueba. Conectemos dos celdas $R-C$ idénticas en cascada directa.

**Fig. 13** — Dos celdas RC idénticas conectadas directamente en cascada, sin búfer

Al medir en el banco de trabajo y al calcular formalmente, el resultado nos reserva una decepción: la pendiente final ciertamente alcanza $-40\ \text{dB/década}$ a frecuencias muy altas, pero el comportamiento en las cercanías de la frecuencia de corte es muy deficiente. La transición es blanda, aplanada, y la atenuación comienza demasiado pronto dentro de la banda de paso.

¿Por qué? Porque nuestra intuición se basaba en la premisa implícita de que cada celda funcionaba de forma aislada e independiente. Sin embargo, tan pronto como conectamos la segunda celda a la primera, la resistencia $R_2$ y el condensador $C_2$ consumen una corriente para nada despreciable proveniente de la primera celda. La segunda celda «carga» a la primera y derrumba su tensión. Acabamos de chocar de frente contra el problema universal del efecto de carga y la adaptación de impedancias.

El punto de vista de Thévenin: autopsia del efecto de carga

💡 Aviso para la lectura — Demostración matemática del efecto de carga
Los párrafos que siguen detallan el cálculo analítico riguroso (modelo equivalente de Thévenin, impedancias complejas y teorema de Millman) que demuestra de forma precisa de dónde surge el término de interacción parásito $R_1 C_2$ .

Si usted prefiere retener directamente el resultado físico y pasar a las soluciones prácticas sin recorrer las ecuaciones, puede saltarse esta deducción e ir de inmediato a la síntesis: En conclusión: la regla de oro de la cascada pasiva.

Para comprender exactamente hacia dónde se escapa la energía, utilicemos el teorema de Thévenin (estudiado en detalle en el curso Módulo 2, Lección 05 — Los teoremas de Thévenin y de Norton). Visto desde sus terminales de salida, la primera etapa se comporta como un generador imperfecto que posee una tensión en circuito abierto y una impedancia interna $Z_{th}$ :

**Fig. 14** — Modelo de Thévenin y efecto de la carga

La figura de Thévenin anterior se mantiene deliberadamente general: sus impedancias $Z_1$ , $Z_2$ y $Z_e$ representan cualquier divisor cargado. Regresemos al esquema real de las dos celdas RC en cascada presentado justo antes de esta sección. En su primera celda, $Z_1$ corresponde a la resistencia $R_1$ , $Z_2$ a la impedancia del condensador $C_1$ , es decir $1/(pC_1)$ , y la carga $Z_e$ a la impedancia de entrada de la segunda celda, esto es $R_2 + 1/(pC_2)$ . Empleamos aquí la variable de Laplace $p$ porque estamos deduciendo la función de transferencia general $H(p)$ . Para estudiar la respuesta armónica a la pulsación $\omega$ , basta con reemplazar $p=j\omega$ : la impedancia del condensador vuelve a ser $Z_C=1/(jC\omega)$ .

Para determinar la impedancia interna de Thévenin de la primera etapa, la fuente ideal de tensión se sustituye por un cortocircuito. La transformación completa se representa a continuación, paso a paso:

**Fig. 15** — Cálculo en tres pasos de la impedancia de Thévenin de una celda RC: circuito original, fuente de tensión reemplazada por un cortocircuito, y resistencia y condensador redibujados en paralelo

En el esquema intermedio, el terminal izquierdo de $R_1$ queda conectado a tierra mediante el cortocircuito que reemplaza a la fuente. Se une, por tanto, al mismo nodo que el terminal inferior de $C_1$ . El último esquema no modifica ninguna conexión: simplemente redibuja el circuito para hacer visibles las dos ramas en paralelo entre la salida de la primera etapa y tierra. Esta impedancia interna vale:

Z_{th}=R_1\parallel\frac{1}{pC_1} =\frac{R_1}{1+pR_1C_1}

Cuando conectamos la segunda celda ( $R_2, C_2$ ), su impedancia de entrada se conecta en serie con $Z_{th}$ . Ambas forman un divisor de tensión adicional imprevisto que altera profundamente la dinámica del conjunto.

Para calcular rigurosamente el potencial en el nodo intermedio sin tener que resolver un engorroso sistema de ecuaciones, empleamos el teorema de Millman (estudiado en detalle en el curso Módulo 2, Lección 05 — Los teoremas de Thévenin y de Norton).

Este teorema, publicado por Jacob Millman en 1940 (Millman, 1940), es la formulación directa de la ley de corrientes de Kirchhoff en términos de potenciales de nodos. Cuando $n$ ramas ( $k = 1, 2 \dots n$ ) convergen hacia un mismo nodo $M$ , aportando cada una un potencial $V_k$ a través de una impedancia $Z_k$ (o una admitancia $Y_k = 1/Z_k$ ), el potencial eléctrico $V_M$ de dicho nodo se expresa directamente como el promedio ponderado de todos los potenciales vecinos:

V_M = \frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{V_k}{Z_k}}{\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{Z_k}} = \frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n Y_k \cdot V_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^n Y_k}

donde cada término tiene un significado físico directo:

$V_M$ es el potencial eléctrico en el nodo $M$ buscado (en voltios $\text{V}$ );
$\sum_{k=1}^n$ (letra griega sigma mayúscula) es el símbolo de la sumatoria: indica sumar las contribuciones de todas las ramas conectadas al nodo, desde la rama $k = 1$ hasta la rama $k = n$ ;
$n$ es el número total de ramas conectadas al nodo (aquí $n = 3$ ramas para nuestro nodo intermedio);
$V_k$ es el potencial eléctrico en el otro extremo de la rama número $k$ (la tensión de entrada $V_e$ , la tierra $0\ \text{V}$ , o el potencial de salida $V_s$ );
$Z_k$ es la impedancia compleja de la rama número $k$ (en ohmios $\Omega$ ) que se opone al paso de la corriente (por ejemplo $R_1$ , $R_2$ , o $Z_{C1} = 1/(pC_1)$ );
$Y_k = \dfrac{1}{Z_k}$ es la admitancia de la rama número $k$ (admitancia = facilidad con la que un componente deja pasar la corriente alterna, inverso exacto de la impedancia $Y = 1/Z$ , expresada en siemens $\text{S}$ , denotada $G_k = 1/R_k$ para una simple resistencia): cuanto más baja es una impedancia, mayor es su admitancia;
El numerador (arriba, $\sum Y_k V_k = \sum \dfrac{V_k}{Z_k}$ ) representa la suma de las corrientes que cada rama inyectaría hacia el nodo ( $I = V/Z$ );
El denominador (abajo, $\sum Y_k = \sum \dfrac{1}{Z_k}$ ) representa la suma de todas las admitancias conectadas al nodo (su conductancia total).

💡 La imagen intuitiva del promedio ponderado:
La fórmula de Millman funciona exactamente igual que el cálculo de un promedio académico con créditos o coeficientes:

Las tensiones exteriores $V_k$ son las calificaciones;

Las admitancias $Y_k = 1/Z_k$ son los créditos o pesos de cada nota.
Cuanto menor es la resistencia de una rama (alta admitancia, mayor peso), con más fuerza «jala» el potencial del nodo $V_M$ hacia su propia tensión. Una rama desconectada o abierta ( $Z = \infty$ ) tiene un peso nulo ( $Y = 0$ ) y no influye en el nodo; un cortocircuito ( $Z = 0$ ) tiene un peso infinito e impone de inmediato su tensión.

Apliquemos esta fórmula al nodo intermedio de potencial $V_1$ situado entre las dos celdas:

La rama de entrada aporta el potencial $V_e$ a través de la resistencia $R_1$ (término $V_e / R_1$ );
La rama central está conectada a tierra ( $0\ \text{V}$ ) a través del condensador $C_1$ de impedancia $Z_{C1} = 1/(pC_1)$ (término $0 / Z_{C1} = 0$ );
La rama de salida está conectada al potencial $V_s$ a través de la resistencia $R_2$ (término $V_s / R_2$ ).

La fórmula de Millman da directamente:

V_1 = \frac{\dfrac{V_e}{R_1} + \dfrac{0}{Z_{C1}} + \dfrac{V_s}{R_2}}{\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{Z_{C1}} + \dfrac{1}{R_2}} = \frac{\dfrac{V_e}{R_1} + \dfrac{V_s}{R_2}}{\dfrac{1}{R_1} + pC_1 + \dfrac{1}{R_2}}

Al combinar este resultado con el divisor de tensión de la segunda etapa ( $V_s = V_1 \cdot \dfrac{Z_{C2}}{R_2 + Z_{C2}} = \dfrac{V_1}{1 + pR_2C_2}$ ), la función de transferencia global de las dos celdas pasivas interconectadas se convierte en:

H(p)=\frac{1}{1+(R_1C_1+R_2C_2+R_1C_2)p+R_1R_2C_1C_2p^2}

Observe con atención el coeficiente de primer orden en el denominador: junto a las constantes de tiempo individuales $R_1C_1$ y $R_2C_2$ , ha aparecido un término cruzado indeseable: $R_1C_2$ . Es la huella matemática directa de la interacción parásita entre las dos etapas.

Para componentes idénticos ( $R_1 = R_2 = R$ y $C_1 = C_2 = C$ ), la ecuación queda:

H(p)=\frac{1}{1 + 3RCp + (RC)^2 p^2}

¡El término central vale $3RC$ en lugar de los $2RC$ que se esperarían para dos etapas perfectamente independientes!
Consecuencia directa sobre el factor de amortiguamiento: $\xi = 1{,}5$ , lo que equivale a un factor de calidad diminuto $Q = 1/3 \approx 0{,}333$ . El filtro está fuertemente sobreamortiguado por su propia carga: el codo de atenuación se redondea prematuramente, provocando una atenuación sensible mucho antes de la pulsación $\omega_0=1/RC$ .

En conclusión: la regla de oro de la cascada pasiva

¿Por qué dos celdas idénticas no se suman de manera simple?

Porque un circuito pasivo no es un sistema aislado: la segunda celda toma corriente de la primera, modificando el divisor de tensión e introduciendo un término cruzado de interacción indeseable ( $R_1 C_2$ ).

🎯 La regla fundamental de la cascada: antes de multiplicar las funciones de transferencia de dos etapas conectadas directamente, es indispensable verificar su interacción mutua. El producto $H_{\text{total}}(p)=H_1(p)\,H_2(p)$ solo es rigurosamente exacto cuando cada función de transferencia ya tiene en cuenta su carga real, o cuando la etapa siguiente no carga de forma apreciable a la anterior. Para las dos celdas RC directamente conectadas que acabamos de estudiar, multiplicar sus funciones de transferencia calculadas en vacío sería un grave error: el efecto de carga reduce el factor de calidad de $Q=0{,}500$ a $Q=0{,}333$ y aplana prematuramente la curva de atenuación.

Cómo liberarse del efecto de carga: soluciones pasivas y activas

Frente a esta inevitable degradación de la cascada pasiva directa, el diseñador cuenta con dos grandes caminos: el ingenio pasivo mediante el escalonamiento de impedancias, o la solución activa mediante una etapa búfer.

1. La solución pasiva: el escalonamiento de impedancias

Para limitar la interacción sin tener que recurrir a componentes activos, la técnica clásica consiste en escalonar las impedancias: se selecciona para la segunda etapa una resistencia mucho mayor y un condensador proporcionalmente más pequeño, por ejemplo en una relación de 10:

R_2=10R_1 \qquad ; \qquad C_2=\frac{C_1}{10}

Por ejemplo, fijando la frecuencia propia de referencia en $f_0 \approx 1{,}59\ \text{kHz}$ ( $\tau = 0{,}1\ \text{ms}$ , considerando que las frecuencias reales de corte en el punto a $-3\ \text{dB}$ serán de $596\ \text{Hz}$ en 1:1, $956\ \text{Hz}$ en 1:10 y $1{,}024\ \text{kHz}$ con AOP):

Primera etapa: $R_1 = 1\ \text{k}\Omega$ y $C_1 = 100\ \text{nF}$ ( $\tau_1 = 10^3 \times 100\cdot 10^{-9} = 0{,}1\ \text{ms}$ );
Segunda etapa: $R_2 = 10\ \text{k}\Omega$ ( $\times 10$ ) y $C_2 = 10\ \text{nF}$ ( $\div 10$ ) ( $\tau_2 = 10^4 \times 10\cdot 10^{-9} = 0{,}1\ \text{ms}$ ).

**Fig. 16** — Escalonamiento de impedancias en una cascada pasiva de dos celdas RC: valores de componentes y comparación de amortiguamiento

Ambas constantes de tiempo se mantienen estrictamente idénticas ( $\tau_2 = \tau_1 = \tau$ ). Pero observemos qué le sucede al término cruzado parásito en la fórmula general obtenida por Millman:

R_1 C_2 = (1\ \text{k}\Omega) \times (10\ \text{nF}) = 0{,}01\ \text{ms} = \mathbf{0{,}1 \cdot \tau}

El denominador de la función de transferencia pasa a ser:

D(p) = 1 + (1 + 1 + 0{,}1)\tau p + \tau^2 p^2 = 1 + \mathbf{2{,}1 \tau p} + \tau^2 p^2

¡El término central ya no vale $3{,}0\tau$ , sino únicamente $2{,}1\tau$ !
El coeficiente de amortiguamiento desciende a $\xi \approx 1{,}05$ , y el factor de calidad se recupera hasta $Q = 1/2{,}1 \approx 0{,}476$ : el filtro recupera el $95{,}2\,\%$ del factor de calidad de una etapa con búfer ideal ( $Q = 0{,}500$ , lo que representa el $93{,}3\,\%$ de su ancho de banda en el punto a $-3\ \text{dB}$ ), ¡sin añadir un solo amplificador operacional ni requerir rieles de alimentación!

Este elegante método pasivo presenta, no obstante, límites físicos muy reales en la práctica:

Incrementar desmedidamente los resistores ( $R_2$ ) aumenta el ruido térmico de Johnson ( $e_n = \sqrt{4kTR\Delta f}$ ) y vuelve al circuito sumamente vulnerable a corrientes de fuga y a interferencias electromagnéticas del entorno.
Reducir desmedidamente los condensadores ( $C_2$ ) hace que el filtro sea sensible a las capacitancias parásitas de las pistas del circuito impreso y de los componentes vecinos.

En resumen: por qué el escalonamiento de impedancias tiene éxito donde la cascada idéntica falla

Todo se explica por la relación entre la impedancia de salida de la primera etapa y la impedancia de entrada de la segunda:

**Fig. 17** — Comparación de impedancias entre cascada idéntica y cascada escalonada

En la cascada idéntica (relación 1:1): la segunda etapa presenta una impedancia de entrada de $1\ \text{k}\Omega$ , idéntica a la impedancia de salida de la primera etapa ( $1\ \text{k}\Omega$ ). Es como conectar una carga demasiado pesada a una fuente débil: la segunda etapa demanda corriente en exceso, derrumba la tensión intermedia $V_1$ y aplasta prematuramente el codo del filtro ( $Q = 0{,}333$ ).
En la cascada escalonada (relación 1:10): al multiplicar la resistencia por 10 ( $10\ \text{k}\Omega$ ) y dividir la capacitancia entre 10 ( $10\ \text{nF}$ ), la constante de tiempo permanece inalterada, pero la segunda etapa se vuelve 10 veces más difícil de atravesar. El término cruzado de interacción $R_1 C_2$ se reduce a apenas $0{,}1\tau$ (un 10 % de su valor original): el efecto de carga sobre la primera etapa se atenúa drásticamente, la tensión intermedia $V_1$ se preserva notablemente y la pérdida parásita se elimina casi en su totalidad ( $Q = 0{,}476$ ).

En el plano frecuencial, esta mitigación del efecto de carga se refleja de manera directa en los diagramas de Bode: mientras que la cascada idéntica veía desplomarse su punto a $-3\ \text{dB}$ hasta $0{,}374 f_0$ , el escalonamiento lo empuja hasta $0{,}601 f_0$ (¡una ampliación del $+60{,}5\,\%$ en el ancho de banda útil!) reduciendo al mismo tiempo la atenuación en $f_0$ a tan solo $-6{,}44\ \text{dB}$ en vez de $-9{,}54\ \text{dB}$ :

**Fig. 18** — Comparación de las respuestas en frecuencia de Bode: cascada pasiva idéntica vs cascada escalonada 1:10

⚖️ El compromiso físico que se debe recordar:
El escalonamiento de impedancias es una técnica pasiva eficaz que no requiere componentes activos, pero tiene una contrapartida inevitable: la impedancia de salida global del filtro es ahora de $10\ \text{k}\Omega$ en lugar de $1\ \text{k}\Omega$ . El filtro se ha vuelto más vulnerable frente al circuito subsiguiente que se conecte a su salida $V_{\text{out}}$ .
Es justamente para romper este dilema por lo que se recurre a la solución activa.

2. La solución activa: la etapa búfer seguidora con amplificador operacional (desacople ideal)

En las arquitecturas electrónicas modernas, la solución estándar consiste en intercalar entre las dos celdas un amplificador operacional configurado como seguidor de tensión (ganancia $\times 1$ o búfer):

H(p)=H_1(p) \cdot H_2(p) =\frac{1}{(1+pR_1C_1)(1+pR_2C_2)}

En el modelo ideal, el AOP seguidor presenta una impedancia de entrada infinita (no demanda absolutamente ninguna corriente de la primera celda, anulando el efecto de carga) y una impedancia de salida nula (en el modelo ideal, excita la segunda celda como una fuente de tensión perfecta). El término cruzado de interacción desaparece por completo y la función de transferencia global se convierte en el producto matemático exacto de las dos celdas independientes: $H(p) = H_1(p) \cdot H_2(p)$ .

**Fig. 19** — Dos celdas RC aisladas mediante un AOP seguidor y comparación con la cascada pasiva directa

Para dos celdas idénticas aisladas por un búfer seguidor, se obtiene un amortiguamiento crítico ideal: $\xi = 1{,}0$ y $Q = 0{,}500$ . La independencia de las dos celdas queda restaurada, pero sus atenuaciones individuales se suman: en la frecuencia propia $f_0$ de las celdas elementales, cada una aporta $-3{,}01\ \text{dB}$ y el conjunto exhibe $-6{,}02\ \text{dB}$ . Por ello, la frecuencia de corte (el punto a $-3\ \text{dB}$ ) del filtro completo se sitúa más abajo, alrededor de $0{,}644f_0$ , antes de que la pendiente converja asintóticamente hacia $-40\ \text{dB/década}$ .

**Fig. 20** — Comparación de las 3 respuestas en frecuencia de Bode: cascada pasiva idéntica, cascada escalonada y cascada activa con AOP

Síntesis comparativa de las tres arquitecturas de segundo orden ( $f_0 = 1\ 000\ \text{Hz}$ )

Cascada pasiva idéntica (relación 1:1):
- Factor de calidad: $Q = 0{,}333$ (sobreamortiguado, $\xi = 1{,}5$ ).
- El punto a $-3\ \text{dB}$ (corte real): $f_c = 0{,}374\ f_0 = \mathbf{374\ \text{Hz}}$ (el ancho de banda útil queda recortado en un $62{,}6\,\%$ ).
- Atenuación en la frecuencia propia $f_0$ : $-9{,}54\ \text{dB}$ (tensión residual $V_{\text{out}} = 0{,}333\ \text{V}$ para $1\ \text{V}$ a la entrada).
- Balance: ❌ Efecto de carga máximo, la respuesta del filtro decae prematuramente.
Cascada pasiva escalonada (relación 1:10):
- Factor de calidad: $Q = 0{,}476$ (casi crítico, $\xi = 1{,}05$ ).
- El punto a $-3\ \text{dB}$ (corte real): $f_c = 0{,}601\ f_0 = \mathbf{601\ \text{Hz}}$ ( $+60{,}5\,\%$ de ancho de banda útil recuperado).
- Atenuación en la frecuencia propia $f_0$ : $-6{,}44\ \text{dB}$ (tensión residual $V_{\text{out}} = 0{,}476\ \text{V}$ ).
- Balance: ⚖️ Excelente compromiso pasivo sin componentes activos, pero con una impedancia de salida mayor ( $10\ \text{k}\Omega$ ).
Cascada activa con AOP seguidor (desacople perfecto):
- Factor de calidad: $Q = 0{,}500$ (amortiguamiento crítico ideal, $\xi = 1{,}0$ ).
- El punto a $-3\ \text{dB}$ (corte real): $f_c = 0{,}644\ f_0 = \mathbf{644\ \text{Hz}}$ ( $+72\,\%$ de ancho de banda útil máximo).
- Atenuación en la frecuencia propia $f_0$ : $-6{,}02\ \text{dB}$ (tensión residual $V_{\text{out}} = 0{,}500\ \text{V}$ ).
- Balance: ✅ Desacople ideal: ancho de banda óptimo, cero pérdidas parásitas y impedancia de salida nula en el modelo ideal.

💡 Lo que revela la gráfica (y la trampa a evitar):

La curva azul (escalonada 1:10) y la curva verde (AOP) están REALMENTE muy cerca:
No es ninguna ilusión visual: al escalonar las impedancias en una relación de 10, el término parásito de interacción solo añade $0{,}1\tau$ en el denominador ( $D(p) = 1 + 2{,}1\tau p + \tau^2 p^2$ en lugar de $1 + 2{,}0\tau p + \tau^2 p^2$ ). El escalonamiento pasivo recupera así el $95{,}2\,\%$ del factor de calidad ideal (y el $93{,}3\,\%$ del ancho de banda) de una etapa con búfer ¡sin gastar un solo miliamperio de corriente de alimentación!

El abismo evidente se produce con la cascada idéntica (curva roja):
En la relación 1:1, la interacción parásita aporta $1{,}0\tau$ ( $D(p) = 1 + 3{,}0\tau p + \tau^2 p^2$ ): el efecto de carga mutila el ancho de banda útil en un $62{,}6\,\%$ ( $f_c = 0{,}374 f_0$ ) y aplasta la señal a $-9{,}54\ \text{dB}$ en la frecuencia propia.

¿Por qué usar entonces un AOP?
¡Porque la curva solo muestra el filtro en vacío (sin carga posterior)! La cascada escalonada presenta una impedancia de salida alta ( $10\ \text{k}\Omega$ ): tan pronto como la siguiente etapa (un amplificador, un conversor ADC) se conecte a ella, sufrirá a su vez un nuevo efecto de carga perjudicial. El AOP seguidor, en cambio, posee una impedancia de salida nula en el modelo ideal ( $Z_{\text{out}} = 0\ \Omega$ ): garantiza que el filtro mantenga su respuesta exacta sin importar la carga resistiva conectada a continuación. (En un AOP real, la corriente máxima de salida, el ancho de banda, la excursión de tensión y la estabilidad frente a cargas capacitivas imponen límites que deben verificarse según el circuito integrado elegido).

Para profundizar: ¿y si observáramos estos filtros con un eje de frecuencias lineal?

En electrónica, solemos utilizar de forma casi exclusiva los diagramas de Bode en escala logarítmica, hasta el punto de olvidar a veces qué aspecto tiene la función de transferencia cuando el eje horizontal es lineal (tal como la registraría un analizador de redes o un banco de prueba mediante barrido de frecuencias).

Para apreciar la ampliación del ancho de banda sin la compresión geométrica de las décadas altas, representemos las tres mismas respuestas con un eje de frecuencias lineal graduado de $0$ a $2\cdot f_0$ :

**Fig. 21** — Respuesta en frecuencia de las tres cascadas con eje de frecuencias lineal de 0 a 2 f0

Esta gráfica permite observar dos aspectos importantes:

La ampliación del ancho de banda (+72 %) se evidencia en toda su magnitud física: sin la compresión logarítmica del eje de frecuencias, la diferencia entre la frecuencia de corte de la cascada idéntica ( $0{,}374 f_0$ ) y la del AOP ( $0{,}644 f_0$ ) salta a la vista de manera contundente.
Se comprende el golpe de genialidad de Hendrik Bode: con un eje de frecuencias lineal, la asíntota de $-40\ \text{dB/década}$ pierde su rectitud y se curva hacia abajo. La escala logarítmica resulta indispensable para trazar asíntotas rectas a lo largo de varias décadas ( $10\ \text{Hz} \to 100\ \text{kHz}$ ), pero la visualización lineal nos recuerda palpablemente la distribución espectral de la señal.

El segundo orden: no confundamos más $f_0$ , $f_c$ y $f_r$ , explicaciones sobre $\xi$ , $\omega$ y $Q$

En el primer orden, el panorama era simple: una sola constante de tiempo $\tau = RC$ gobernaba la frecuencia de corte $f_c = 1/(2\pi RC)$ , la pendiente de atenuación marchaba suavemente a $-20\ \text{dB/década}$ y la fase transitaba de $0^\circ$ a $-90^\circ$ . No había sorpresas, oscilaciones ni picos posibles.

Tan pronto como cruzamos el umbral del segundo orden, la física del sistema cambia de forma radical. Un filtro de segundo orden posee dos depósitos de energía independientes, por ejemplo dos condensadores o la pareja formada por una bobina y un condensador. Dos condensadores almacenan ambos energía en forma electrostática: en una red RC pasiva, originan un segundo orden pero carecen del intercambio oscilatorio de energía que engendra la resonancia. Una pareja LC, en cambio, transfiere periódicamente la energía entre el campo eléctrico del condensador y el campo magnético del inductor; según el nivel de amortiguamiento del circuito, puede manifestarse una verdadera resonancia.

Por ende, una única frecuencia de corte ya no basta para describir lo que ocurre. Se requieren dos parámetros físicos independientes para determinar su comportamiento:

La pulsación propia $\omega_0$ (omega cero, $\omega_0 = 2\pi f_0$ ), expresada en $\text{rad/s}$ , que fija la escala de frecuencias y el punto donde el circuito concentra su dinámica principal.
El nivel de amortiguamiento, que decide la silueta de la curva. Dos escuelas de ingeniería lo cuantifican mediante dos notaciones complementarias:
- El factor de calidad $Q$ (número adimensional que indica cuán poco amortiguada y cuán selectiva es una resonancia): muy apreciado por ingenieros de radiofrecuencia y acústicos, cuantifica el amortiguamiento y la proximidad de los polos al eje imaginario. A mayor valor de $Q$ , menos amortiguado está el sistema y más vivaz es su dinámica (traduciéndose, en un pasa-bajas canónico (escrito en la forma de referencia que destaca los parámetros clave del circuito), en un pico de resonancia más pronunciado).
- El coeficiente de amortiguamiento $\xi$ (número adimensional que mide el frenado de las oscilaciones): esta letra griega csi minúscula se pronuncia «xi» o «csi». Esta notación se utiliza, entre otros ámbitos, en teoría de control e ingeniería mecánica.

¿De dónde surge la letra $\xi$ y por qué ese factor 2?

Ambas magnitudes describen con exactitud la misma realidad física, desde puntos de vista inversos:

Q = \frac{1}{2\xi} \qquad \Longleftrightarrow \qquad 2\xi = \frac{1}{Q}

¿Por qué este misterioso coeficiente $2$ acompaña siempre a $\xi$ ?
Cuando los físicos plantean la ecuación diferencial universal de un oscilador armónico amortiguado:

\frac{\mathrm{d}^2 s(t)}{\mathrm{d}t^2} + 2\xi\omega_0 \frac{\mathrm{d}s(t)}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2 s(t) = \omega_0^2 e(t)

el factor 2 se incluye expresamente para facilitar la resolución algebraica. Gracias a él, el discriminante reducido de la ecuación característica se escribe simplemente como $\Delta' = \omega_0^2(\xi^2 - 1)$ , lo que evita arrastrar fracciones engorrosas al calcular las raíces (los polos del circuito).

La posición de los polos y el régimen de amortiguamiento son propiedades fundamentales determinadas por el denominador. Los efectos descritos a continuación sobre la respuesta temporal al escalón y sobre la curva de ganancia asumen un filtro pasa-bajas canónico de segundo orden con ganancia estática unitaria (forma canónica = modelo matemático estandarizado de referencia); el numerador y sus eventuales ceros pueden modificar la silueta de dicha respuesta:

Régimen aperiódico sobreamortiguado ( $\xi > 1$ , es decir $Q < 0{,}5$ ): el frenado es muy intenso, y los dos polos son reales y distintos. El filtro responde con lentitud y la curva desciende de forma extendida sin ningún tipo de sobreimpulso o cresta.
Amortiguamiento crítico ( $\xi = 1$ , es decir $Q = 0{,}5$ ): los dos polos reales coinciden en el mismo punto ( $p_1 = p_2 = -\omega_0$ ). Es la respuesta temporal más veloz posible sin presentar ningún sobreimpulso ni oscilación transitoria.
Régimen subamortiguado sin sobretensión ( $1/\sqrt{2} \le \xi < 1$ , es decir $0{,}5 < Q \le 0{,}707$ ): los polos se vuelven complejos conjugados. En el dominio del tiempo aparece un ligero sobreimpulso transitorio ante una entrada escalón, pero en el dominio frecuencial la curva de ganancia se mantiene estrictamente monótona decreciente sin ningún pico de resonancia. La frontera $\xi = 1/\sqrt{2} \approx 0{,}707$ ( $Q = 0{,}707$ ) corresponde al caso sobresaliente de Butterworth, que ofrece la máxima planitud en la banda de paso (maximally flat).
Régimen subamortiguado con resonancia ( $\xi < 1/\sqrt{2} \approx 0{,}707$ , es decir $Q > 0{,}707$ ): los polos se aproximan al eje imaginario. Brota un lomo o cresta de sobretensión (pico de resonancia) en la curva de amplitud justo antes de la caída.
(Caso límite teórico: el oscilador puro no amortiguado con $\xi = 0$ , $Q \to \infty$ , donde los polos se ubican directamente sobre el eje imaginario $p = \pm j\omega_0$ ).

Bajo su forma canónica normalizada (forma canónica = escritura matemática universal donde los coeficientes son directamente $Q$ , $\xi$ y $\omega_0$ sin pasos intermedios), el denominador $D(p)$ de la función de transferencia se escribe indistintamente con $Q$ o con $\xi$ :

D(p)=1+\frac{p}{Q\omega_0}+\frac{p^2}{\omega_0^2} =1+\frac{2\xi}{\omega_0}p+\frac{p^2}{\omega_0^2}

Tres frecuencias que ya no debemos confundir

Es aquí donde ocurre una confusión muy arraigada entre quienes se inician en la electrónica: suponer que la frecuencia propia, la frecuencia de corte y la frecuencia del pico de resonancia son la misma cosa. Se trata, en rigor, de tres magnitudes distintas:

$f_0$ , la frecuencia propia característica ( $f_0 = \omega_0 / 2\pi$ ): determinada por los valores de los componentes ( $LC$ o $RC$ ). Para un pasa-bajas canónico con ganancia estática unitaria, a $f = f_0$ el desfase es rigurosamente de $-90^\circ$ , y el módulo de la ganancia es exactamente igual a $Q$ ( $|H(j\omega_0)| = Q$ , es decir $G_{\text{dB}}(f_0) = 20\log_{10} Q$ ).
$f_c$ , la frecuencia de corte en el punto a $-3\ \text{dB}$ : la frecuencia a la cual el módulo de la ganancia en tensión vale $1/\sqrt{2} \approx 0{,}707$ respecto a su referencia de banda de paso. Este módulo de $1/\sqrt{2}$ equivale a una potencia reducida a la mitad únicamente si las impedancias comparadas son idénticas.
$f_r$ , la frecuencia de resonancia: la frecuencia en la que la curva de amplitud alcanza su punto más alto cuando existe un pico de sobretensión.

Para el pasa-bajas canónico con ganancia estática unitaria, $f_0 = f_c$ únicamente en el caso particular de Butterworth ( $Q = 1/\sqrt{2}$ ), en el cual no se produce ningún pico de sobretensión.

En este mismo pasa-bajas canónico, en cuanto $Q > 1/\sqrt{2}$ , se manifiesta un pico de sobretensión a la frecuencia de resonancia $f_r$ , la cual resulta estrictamente menor que $f_0$ :

f_r=f_0\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}} < f_0

A medida que $Q$ se eleva, la resonancia se vuelve más aguda y esbelta, y $f_r$ se aproxima por debajo a $f_0$ , mientras que el punto a $-3\ \text{dB}$ se desplaza hacia frecuencias notablemente mayores que $f_0$ .

Los polos se ubican en el plano complejo

Las raíces del denominador constituyen los polos de la función de transferencia. Un sistema de primer orden posee un único polo real negativo; uno de segundo orden subamortiguado posee un par de polos complejos conjugados de la forma $p = -\alpha \pm j\omega_d \qquad (\alpha > 0)$ .

Su ubicación en el plano complejo resume de una sola mirada la dinámica integral del filtro:

**Fig. 22** — Representación de polos en el plano complejo

Para que un filtro causal y racional sea estable en sentido BIBO (Bounded-Input Bounded-Output, es decir, que cualquier señal de entrada acotada produzca una salida acotada), todos sus polos deben encontrarse estrictamente en el semiplano izquierdo ( $\text{Re}(p) < 0$ ). Cuanto más se acercan los polos al eje imaginario vertical, menor es el amortiguamiento $\xi$ , mayor es el factor de calidad $Q$ y más pronunciada se torna la resonancia. Si cruzaran el eje imaginario hacia el semiplano derecho, el circuito se volvería inestable: un polo real generaría una divergencia exponencial, mientras que un par complejo engendraría oscilaciones de amplitud creciente.

Dos celdas RC pasivas

En los filtros pasa-bajas RC pasivos de segundo orden que hemos analizado hasta este punto, construidos únicamente con resistencias y condensadores sin elementos amplificadores ni bucles de realimentación positiva, los polos permanecen sobre el eje real negativo ( $\xi \ge 1$ ). No pueden, bajo ninguna circunstancia, generar un pico de resonancia subamortiguado.

Recapitulemos los dos casos pasivos estudiados:

Dos celdas idénticas conectadas en cascada directa (efecto de carga máximo):
$\xi=1{,}5 \qquad ; \qquad Q=\frac13 \approx 0{,}333$
Dos celdas idénticas desacopladas mediante un búfer seguidor ideal:
$\xi=1{,}0 \qquad ; \qquad Q=\frac12 = 0{,}500$

¿Es posible mejorar $Q$ sin amplificadores variando la relación entre los valores de las resistencias y los condensadores?
La siguiente tabla sintetiza el efecto de diversas combinaciones de valores:

**Fig. 23** — Ejemplos de redes pasa-bajas RC pasivas de segundo orden

Esta ilustración demuestra que reorganizar los resistores y condensadores modifica ciertamente el valor de $Q$ en estas redes pasivas, pero no siempre hacia arriba: según la combinación de componentes, $Q_{\max} = \sqrt{b}/2$ donde $b$ es la relación entre las constantes de tiempo. Para $b = 0{,}5$ , $Q_{\max} \approx 0{,}354$ (una ligera mejoría frente a $Q = 1/3$ ); para $b = 1/3$ , $Q_{\max} \approx 0{,}289$ (un empeoramiento). En cualquier caso, el valor $Q = 0{,}5$ correspondiente al búfer ideal se mantiene inalcanzable. Para superar esta barrera en un circuito pasivo y dar origen a una resonancia real, nos hace falta un ingrediente físico con capacidad de intercambiar energía reactiva: el inductor o bobina.

Volvamos al filtro pasa-todo de segundo orden

El numerador y el denominador comparten idénticos coeficientes, con la sola excepción del término de primer grado en $p$ , cuyo signo se encuentra invertido (signo $-$ en el numerador, signo $+$ en el denominador). Al evaluar con $p = j\omega$ para analizar el régimen senoidal permanente, estos dos polinomios se convierten en complejos conjugados: poseen exactamente el mismo módulo y fases con signos opuestos. Su cociente arroja, por consiguiente, un módulo estrictamente igual a $1$ —la ganancia es completamente plana e invariable— mientras que la fase resultante es la suma de las dos contribuciones, esto es, el doble de la fase del numerador. Las condiciones $Q>0$ y $\omega_0>0$ aseguran que los polos radiquen en el semiplano izquierdo, garantizando la estabilidad del filtro; la simetría de coeficientes por sí sola no bastaría para asegurar un circuito físico estable.

Bajo la convención adoptada aquí, la fase desenrollada transita de manera continua desde $0^\circ$ hasta $-360^\circ$ a medida que sube la frecuencia, pasando por $-180^\circ$ en $f_0$ . El valor final de $-360^\circ$ es lógicamente equivalente a $0^\circ$ , pero indica con precisión que se ha recorrido un ciclo completo de fase. El factor de calidad $Q$ rige cuán abrupta es esta transición de fase: un $Q$ elevado agrupa la variación en un entorno estrecho alrededor de $f_0$ , mientras que un $Q$ reducido la distribuye a lo largo de un espectro muy extendido.

**Fig. 24** — Ganancia constante y fase variable de un filtro pasa-todo de segundo orden

Es pertinente advertir que un filtro pasa-todo no se comporta forzosamente como una línea de retardo pura: para retardar todas las frecuencias exactamente la misma cantidad de tiempo, su fase debería variar de forma estrictamente lineal respecto a la frecuencia, condición que solo se cumple como aproximación en un intervalo delimitado.

De pasa-bajas a pasa-altas

Antes de incorporar inductancias en nuestro análisis, admiremos una elegante propiedad de simetría matemática: para convertir cualquier función de transferencia pasa-bajas de referencia con pulsación $\omega_0$ en su homólogo pasa-altas con la misma frecuencia de corte, basta con aplicar en el plano de Laplace la transformación espectral de dualidad:

p\longrightarrow\frac{\omega_0^2}{p}

Esta sustitución invierte literalmente el espacio de las frecuencias: la componente continua ( $p=0$ ) se proyecta al infinito, y las frecuencias infinitamente altas ( $p \to \infty$ ) convergen al origen.

Aplicada a una celda de primer orden:

\frac{1}{1+p/\omega_0} \longrightarrow \frac{1}{1 + \dfrac{\omega_0^2}{p\omega_0}} = \frac{1}{1 + \dfrac{\omega_0}{p}} = \frac{p/\omega_0}{1+p/\omega_0}

En el esquema del circuito electrónico, esta dualidad se materializa simplemente intercambiando la posición relativa de las resistencias y los condensadores, ajustando sus valores para preservar la pulsación deseada:

C' = \frac{1}{R\omega_0} \qquad ; \qquad R' = \frac{1}{C\omega_0}

**Fig. 25** — Transformación de un filtro pasa-bajas en pasa-altas por dualidad

El filtro pasa-bajas pasivo RLC de segundo orden

Acabamos de comprobar que con resistencias y condensadores solos, un circuito pasivo se halla irremediablemente confinado en la zona sobreamortiguada ( $Q \le 0{,}5$ ). El condensador almacena y luego restituye energía electrostática. No obstante, al contar solo con $R$ y $C$ , no existe un depósito magnético complementario que posibilite un intercambio cíclico de energía y una resonancia natural.

Para obtener una resonancia natural sin amplificadores, necesitamos un segundo acumulador de energía de naturaleza complementaria: el inductor o bobina de inductancia $L$ , que almacena energía bajo la forma de un campo magnético ( $E = \frac{1}{2} L I^2$ ).

Al combinar una bobina y un condensador, originamos un verdadero ping-pong de energía: el condensador se descarga sobre la bobina, la cual acumula dicha energía en su campo magnético; acto seguido, el inductor devuelve esa energía recargando al condensador con polaridad invertida.

**Fig. 26** — Filtro pasa-bajas pasivo RLC de segundo orden

En el modelo teórico ideal (fuente de tensión de impedancia interna nula, salida en circuito abierto sin carga y pérdidas totales de la malla agrupadas en la resistencia en serie $R$ ), la función de transferencia tomada en bornes del condensador adopta la forma:

H(p)=\frac{1}{1+RCp+LCp^2}

Por correspondencia directa con la expresión canónica $1 + \dfrac{p}{Q\omega_0} + \dfrac{p^2}{\omega_0^2}$ :

\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}} \qquad ; \qquad f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}

Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}

Esta formulación para $Q$ es sumamente reveladora:

La resistencia $R$ reúne todas las pérdidas resistivas en serie del circuito (la resistencia interna del generador, la resistencia óhmica del alambre de cobre de la bobina y las pérdidas en los dieléctricos).
Si la resistencia de pérdidas $R$ tendiera a cero, $Q$ tendería a infinito: la energía oscilaría perpetuamente sin amortiguamiento.
Modificando el valor de $R$ , podemos en este modelo seleccionar el factor de calidad que convenga: $Q = 0{,}707$ para una respuesta Butterworth, $Q = 0{,}577$ para Bessel, o $Q > 1$ para lograr un filtro resonante selectivo. En un montaje real, la resistencia de la fuente, la carga conectada en bornes de salida y las tolerancias de los componentes modificarán el valor efectivo de $Q$ .

**Fig. 27** — Influencia del factor de calidad en un filtro pasa-bajas de segundo orden

El filtro pasa-altas pasivo RLC de segundo orden

De la misma manera que transformamos el circuito de primer orden, podemos adaptar el circuito RLC para conformar un pasa-altas de segundo orden. Para conseguirlo, basta con tomar la tensión de salida entre los terminales del inductor $L$ en lugar de hacerlo en el condensador.

Físicamente, el comportamiento se transpone de modo simétrico:

En continua y a muy bajas frecuencias ( $f \to 0$ ), la bobina exhibe una impedancia prácticamente nula ( $Z_L = jL\omega \to 0$ ): cortocircuita la salida hacia tierra. La pendiente ascendente de la ganancia en la banda de rechazo es de $+40\ \text{dB/década}$ (esto es, $+12\ \text{dB/octava}$ ).
A frecuencias muy elevadas ( $f \to \infty$ ), el inductor presenta una impedancia muy elevada mientras que el condensador se comporta como un cortocircuito: la totalidad de la tensión de entrada se transfiere a los extremos de $L$ , convergiendo la ganancia hacia $1$ ( $0\ \text{dB}$ ).

**Fig. 28** — Influencia del factor de calidad en un filtro pasa-altas de segundo orden

Para $f \ll f_0$ , la ganancia asciende en línea recta con su pendiente de $+40\ \text{dB/década}$ .
Con valores elevados de $Q$ ( $Q > 1/\sqrt{2}$ ), se produce un pico de sobretensión por encima de $f_0$ , en la frecuencia de resonancia pasa-altas:
$f_r = \frac{f_0}{\sqrt{1 - \dfrac{1}{2Q^2}}} > f_0$
Para $f \gg f_0$ , la ganancia alcanza su meseta asintótica unitaria.

En una implementación práctica, la resistencia óhmica interna del inductor y la resistencia de salida del generador restringen el $Q$ máximo alcanzable y suavizan la transición del corte.

Los filtros pasa-banda pasivos RC

¿Qué camino seguir si requerimos aislar una banda de frecuencias intermedia, por ejemplo para filtrar la voz humana entre 300 Hz y 3 400 Hz en un enlace de telefonía?

El primer impulso consiste en interconectar un filtro pasa-altas (que remueve los tonos graves) y un filtro pasa-bajas (que remueve los tonos agudos). No obstante, cuando intentamos realizar esta combinación valiéndonos únicamente de resistencias y condensadores pasivos, salen a la luz con rapidez las severas restricciones de la tecnología RC:

**Fig. 29** — Tres configuraciones de filtros pasa-banda RC pasivos de segundo orden

La estructura canónica (forma canónica = formulación matemática de referencia estandarizada que exhibe directamente la ganancia central $A$ , la pulsación propia $\omega_0$ y el factor de calidad $Q$ ) de un pasa-banda de segundo orden adopta la forma:

H(p)=A\frac{\dfrac{1}{Q}\dfrac{p}{\omega_0}} {1+\dfrac{1}{Q}\dfrac{p}{\omega_0}+\dfrac{p^2}{\omega_0^2}}

donde $A = |H(j\omega_0)|$ representa la ganancia máxima que se alcanza en el centro de la banda.

En todas estas topologías, la frecuencia central geométrica y las frecuencias de corte en los puntos a $-3\ \text{dB}$ medidas respecto al máximo se calculan con las siguientes expresiones exactas:

\omega_0=\sqrt{\omega_1\omega_2}

\omega_1=\omega_0\left(\sqrt{1+\frac{1}{4Q^2}}-\frac{1}{2Q}\right)

\omega_2=\omega_0\left(\sqrt{1+\frac{1}{4Q^2}}+\frac{1}{2Q}\right)

y el ancho de banda determinado entre los dos puntos a $-3\ \text{dB}$ ( $\Delta f$ ) es inversamente proporcional a la selectividad $Q$ :

\Delta f=f_2-f_1=\frac{f_0}{Q}

**Fig. 30** — Respuesta de un filtro pasa-banda de segundo orden para varios valores de Q

El diagnóstico de ingeniería: Cuanto mayor es $Q$ , más estrecha y selectiva es la banda de paso. Sin embargo, en implementaciones enteramente pasivas con resistencias y condensadores (que generan exclusivamente polos reales), el factor de calidad queda acotado en la teoría por $Q \le 0{,}5$ ( $\xi \ge 1$ ). Con componentes idénticos, la conexión en cascada directa produce un modesto $Q = 1/3 \approx 0{,}333$ . Escalonando de manera marcada las impedancias (como en la segunda estructura de la tabla: $R_1 = 10R_2$ y $C_1 = \dfrac{C_2}{10}$ , resultando $Q = A = \dfrac{1}{2{,}1} = \dfrac{10}{21} \approx 0{,}476$ ), ciertas configuraciones pueden aproximarse a $Q = 0{,}5$ , sin poder rebasarlo jamás. Con dos celdas desacopladas por un búfer ideal, también se tiene $Q \le 0{,}5$ . Sumado a esto, la ganancia en la frecuencia central $A$ sufre una inevitable pérdida por inserción que depende de la topología y del escalonamiento (alrededor de $-9{,}54\ \text{dB}$ para dos celdas idénticas con $A = 1/3$ , que puede mitigarse a cerca de $-6{,}44\ \text{dB}$ mediante $A = 10/21 \approx 0{,}476$ ). (Nota de lectura para la gráfica superior: las curvas están normalizadas con un máximo en $0\ \text{dB}$ . En una implementación pasiva real, la curva completa se traslada hacia abajo en una cantidad de $20\log_{10}A$ ). Un pasa-banda pasivo RC solo resulta adecuado para filtrados muy anchos y de escasa selectividad.

El filtro pasa-banda pasivo RLC

Para alcanzar un filtro pasa-banda pasivo de ancho estrecho, selectivo y dotado de ganancia unitaria en el centro ( $A = 1$ ), la presencia del inductor vuelve a ser ineludible.

El circuito RLC serie en el cual la salida se obtiene en bornes de la resistencia $R$ ofrece el ejemplo canónico de un pasa-banda resonante:

**Fig. 31** — Filtro pasa-banda pasivo RLC serie

Su función de transferencia responde a la ecuación:

H(p)=\frac{RCp}{1+RCp+LCp^2}

con:

f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \qquad ; \qquad Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}

Apreciemos el fenómeno físico que acontece justamente en la resonancia $f = f_0$ :
A esa precisa pulsación $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ , la impedancia inductiva de la bobina ( $+jL\omega_0$ ) y la impedancia capacitiva del condensador ( $-j/C\omega_0$ ) poseen el mismo módulo pero signos estrictamente opuestos:

Z_{LC} = jL\omega_0 + \frac{1}{jC\omega_0} = j\left(L\omega_0 - \frac{1}{C\omega_0}\right) = 0

En este modelo libre de pérdidas parásitas secundarias, las dos reactancias se anulan mutuamente: la rama LC opera como un cortocircuito en la resonancia, y la tensión de salida alcanza idealmente el total de la tensión de entrada ( $V_s = V_e$ , es decir ganancia unitaria de $0\ \text{dB}$ con desfase nulo). En el circuito real, la resistencia óhmica interna del devanado de la bobina y la impedancia de la fuente generadora introducen una ligera atenuación residual.

A frecuencias por debajo o por encima de $f_0$ , la impedancia resultante $Z_{LC}$ crece significativamente y reduce la señal, desplegando pendientes asintóticas de $+20\ \text{dB/década}$ en las frecuencias bajas y $-20\ \text{dB/década}$ en las altas.

El filtro rechaza-banda de doble T

La contraparte del pasa-banda es el filtro supresor de banda, eliminador o rechaza-banda.

¿Cómo eliminar una frecuencia de interferencia concreta (como el zumbido de 50 Hz o 60 Hz acoplado por la red eléctrica domiciliaria e industrial) sin recurrir a voluminosas bobinas? La solución concebida históricamente por la ingeniería es una proeza de ingenio pasivo: la red en doble T (o Twin-T).

**Fig. 32** — Filtro rechaza-banda de doble T pasivo simétrico balanceado

El doble T se fundamenta en el principio de interferencia destructiva entre dos ramas en paralelo:

La rama superior conforma un camino pasa-bajas constituido por dos resistencias $R$ en serie y un condensador central $2C$ conectado a tierra.
La rama inferior conforma un camino pasa-altas integrado por dos condensadores $C$ en serie y una resistencia central $R/2$ conectada a tierra.

En la frecuencia geométrica de sintonía:

f_0=\frac{1}{2\pi RC}

ambos caminos suministran en el nodo de salida dos tensiones de amplitudes exactamente idénticas, pero con sus ángulos de fase en oposición de fase perfecta ( $180^\circ$ ). Al confluir en el nodo sumador de salida, ambas ondas se cancelan mutuamente de forma destructiva ( $V_{s1} + V_{s2} = 0$ ).

Bajo condiciones ideales (componentes de precisión absoluta, fuente de excitación sin resistencia interna y impedancia de carga infinita), la atenuación teórica en $f_0$ resulta infinita (una hendidura o muesca abisal de $-\infty\ \text{dB}$ ).

El reto constructivo en la práctica: La profundidad real de esta muesca depende de forma crítica del emparejamiento de los componentes. Dispersiones del 2 % en las resistencias o los condensadores, según su combinación, pueden limitar la profundidad de la muesca a unas pocas decenas de decibeles (esta alta sensibilidad del doble T frente a la tolerancia de componentes se analiza en detalle por Bruce Carter: Carter, 2006). Sumado a ello, como cualquier red pasiva, el doble T ofrece un factor de calidad intrínsecamente bajo ( $Q = 0{,}25$ , equivalente a una muesca ancha $\Delta f = 4f_0$ ) y su desempeño se desploma en cuanto se conecta una carga resistiva a su salida. Examinaremos en la segunda parte de esta serie cómo una configuración activa con amplificador operacional hace posible elevar drásticamente su factor $Q$ y reducir la sensibilidad a la carga externa, sin eliminar la sensibilidad al emparejamiento de los componentes.

¿Cuándo elegir un filtro pasivo?

Al término de este recorrido inicial, se impone una pregunta fundamental de ingeniería: ante el protagonismo abrumador de los circuitos integrados y los amplificadores operacionales, ¿en qué escenarios sigue siendo plenamente justificado concebir un filtro enteramente pasivo?

Los filtros pasivos suelen ofrecer ventajas importantes en cuatro grandes ámbitos de aplicación:

Ausencia de alimentación auxiliar y simplicidad total: una celda pasiva funciona sin alimentación auxiliar. Constituye la alternativa idónea en equipos portátiles autónomos, filtros divisores de frecuencias para cabinas acústicas pasivas y etapas de protección en conectores de entrada.
Conducción de potencias elevadas y señales de gran amplitud: una red pasiva integrada por condensadores para alta tensión e inductores con alambre de grueso calibre es capaz de soportar cientos de voltios y decenas de amperios (filtros de línea contra interferencias EMI/RFI, redes de cruce en bafles de 500 W), entornos donde un amplificador operacional quedaría fulminado al instante.
Frecuencias muy elevadas (RF y microondas): en el terreno de las radiofrecuencias, si bien se fabrican amplificadores operacionales muy veloces con anchos de banda que rozan el gigahercio, los filtros pasivos basados en inductores y condensadores, elementos cerámicos, resonadores de cuarzo o líneas de transmisión siguen siendo a menudo la opción preferida debido a su elevado factor $Q$ , su ausencia de ruido activo, su capacidad para soportar potencia y su excelente linealidad dentro de su rango nominal (pese a que los núcleos magnéticos pueden saturarse a corrientes intensas y ciertos dieléctricos manifestar variaciones no lineales ante tensiones muy altas).
Ruido electrónico ultrabajo: un circuito pasivo no genera ruido inherente a semiconductores (ruido $1/f$ por parpadeo o ruido de disparo de juntura), quedando limitado exclusivamente al ruido térmico irreducible de Johnson en sus elementos resistivos.

Por el contrario, cuando se trabaja en frecuencias bajas y medias (desde 0,1 Hz hasta 100 kHz) sobre señales de pequeña amplitud, los filtros activos suelen ser preferibles: permiten realizar numerosos filtros sin inductores voluminosos ni costosos, brindan impedancias de entrada excepcionalmente altas (de varios megaohmios a gigaohmios) y facilitan ajustar de manera independiente la frecuencia y el amortiguamiento.

De los filtros pasivos a los integradores prácticos

Para pasar al mundo de los filtros activos de la segunda parte, examinemos una de las topologías fundamentales de la electrónica analógica: el integrador basado en amplificador operacional.

Al reemplazar el resistor de realimentación de una etapa amplificadora inversora por un condensador $C$ , la corriente de entrada $i = v_e / R$ carga directamente ese condensador:

H(p)=-\frac{1}{RCp}

En el dominio del tiempo (asumiendo condiciones iniciales nulas), la tensión de salida es la primitiva matemática exacta de la señal de entrada (primitiva / integración = operación inversa a la derivada: en lugar de medir la velocidad de cambio instantánea, acumula la señal a lo largo del tiempo):

v_s(t)=-\frac{1}{RC}\int_0^t v_e(t')\,\mathrm{d}t'

**Fig. 33** — Integrador ideal e integradores prácticos basados en amplificador operacional

La trampa del integrador ideal y las soluciones prácticas

Sobre el papel, el integrador ideal resulta impecable. Sin embargo, en la realidad física oculta un riesgo mayúsculo: en corriente continua ( $p=0$ ), el condensador opera como un circuito abierto, lo cual anula por completo la realimentación negativa en continua.

Cualquier tensión continua remanente a la entrada —sea la tensión de offset (el pequeño desequilibrio de entrada) $V_{os}$ inherente a las asimetrías de los transistores del AOP, las corrientes de polarización de base o compuerta, o una componente continua de la señal— inyecta una corriente persistente $i_0$ en el condensador. Al integrar incansablemente esta corriente ( $v_s(t) = -\frac{1}{C}\int i_0\,\mathrm{d}t = -\frac{i_0}{C}t$ ), la tensión de salida entra en una deriva en rampa lineal que termina por saturar la salida contra alguno de los rieles de alimentación (+15 V o −15 V). El integrador ideal puro es, por consiguiente, inestable e inviable para operar en corriente continua sin un circuito de reinicio.

Para domesticar este circuito, el diseñador dispone de tres variantes prácticas recogidas en el diagrama anterior, las cuales comparten la misma pendiente asintótica de $-20\ \text{dB/década}$ a frecuencias elevadas, si bien difieren en cuanto a su ganancia estática, signo y evolución de fase:

El integrador práctico inversor ( $R_f \parallel C$ ): al situar una resistencia de fuga $R_f$ en paralelo con el condensador, se restaura la realimentación en corriente continua:
$H(p)=-\frac{R_f}{R}\frac{1}{1+pR_fC}$
La ganancia en continua queda limitada a $A_{\text{max}} = -R_f / R$ , erradicando la deriva en rampa. Por encima de la frecuencia de corte $f_c = \dfrac{1}{2\pi R_f C}$ , el circuito reproduce el comportamiento de un integrador puro (pendiente de $-20\ \text{dB/década}$ y desfase de $+90^\circ$ ).
El pasa-bajas RC con búfer no inversor: la celda pasiva $RC$ se conecta a la entrada no inversora de un AOP en configuración seguidora ( $H(p) = \dfrac{+1}{1+pRC}$ ). La ganancia estática es unitaria ( $0\ \text{dB}$ ), la señal conserva su polaridad original (fase que evoluciona de $0^\circ$ a $-90^\circ$ ) y la impedancia de salida es prácticamente nula.
El pasa-bajas RC no inversor amplificado: incorporando una red divisora de realimentación $(R_1, R_2)$ en el lazo de realimentación negativa ( $H(p) = \dfrac{1 + R_2/R_1}{1+pRC}$ ), se combinan en una sola etapa el filtrado pasa-bajas de primer orden y una amplificación de tensión ajustable, sin invertir la señal.

Estos integradores prácticos constituyen los bloques constructivos elementales que nos permitirán, en el siguiente capítulo, sintetizar los filtros activos universales más potentes y versátiles.

Conclusiones y perspectivas

Nuestro recorrido comenzó con una simple resistencia y un modesto condensador.

Siguiendo el comportamiento físico de los circuitos, estos dos componentes elementales nos abrieron la puerta a la comprensión de la frecuencia de corte, la ganancia logarítmica y el desfase. Posteriormente, al procurar conectar dos celdas entre sí, nos topamos con el obstáculo del efecto de carga y la imperiosa necesidad de gestionar la adaptación de impedancias.

Esta búsqueda nos condujo al segundo orden: desentrañamos por qué son indispensables dos parámetros independientes ( $\omega_0$ y $\xi$ o $Q$ ), cómo la distribución de polos rige la estabilidad en el plano complejo y por qué la bobina de inductancia es el componente indispensable en el mundo pasivo para hacer posible una resonancia.

Asimismo, hemos palpado de primera mano las limitaciones estructurales del enfoque pasivo: el tamaño y las pérdidas de los inductores, la interacción perjudicial entre etapas sucesivas y la imposibilidad de afinar libremente la selectividad sin diezmar el nivel de la señal.

Para sortear estas barreras y diseñar filtros a la medida —selectivos, estables y calibrables mediante el giro de un potenciómetro—, se hace indispensable recurrir a la amplificación y a la realimentación activa.

Este es precisamente el tema de la segunda parte: exploraremos en ella el diferenciador estabilizado, las célebres configuraciones Sallen-Key y Rauch (retroalimentación múltiple o MFB), el versátil filtro universal por variables de estado con 3 y 4 amplificadores operacionales, así como los giradores, capaces de emular un inductor sobre una banda de frecuencias determinada, considerando sus márgenes de ruido, rango dinámico y ancho de banda.

Anexo: El teorema de Fourier y la descomposición espectral

Las herramientas de descomposición asociadas al nombre del físico y matemático francés Joseph Fourier (Fourier, 1822) se desarrollan en su tratado fundamental Théorie analytique de la chaleur, publicado en 1822. Representan hoy en día una de las piedras angulares del procesamiento de señales y de la teoría de circuitos lineales.

1. Para una señal periódica: la serie de Fourier

Una señal periódica $x(t)$ de período $T$ (con pulsación fundamental $\omega_0 = \dfrac{2\pi}{T}$ y frecuencia fundamental $f_0 = \dfrac{1}{T}$ ) que satisface las condiciones suficientes habituales de Dirichlet —en particular ser integrable en un período y poseer un número finito de discontinuidades y extremos— admite un desarrollo en serie de Fourier. En aquellos puntos donde la función es continua, la serie converge a su valor local; en una discontinuidad finita, converge al promedio de los límites por izquierda y por derecha:

x(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} \left( a_n \cos(n\omega_0 t) + b_n \sin(n\omega_0 t) \right)

o bien, bajo su formulación equivalente en términos de amplitudes y desfases:

x(t) = A_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} A_n \cos(n\omega_0 t + \theta_n)

donde:

$A_0 = a_0 = \dfrac{1}{T}\int_0^T x(t)\,\mathrm{d}t$ designa el valor promedio, es decir, la componente continua a $0\ \text{Hz}$ ;
$n = 1$ define el término de frecuencia $f_0$ , denominado la fundamental;
$n \ge 2$ da los términos cuyas frecuencias son múltiplos enteros $n f_0$ , denominados los armónicos de orden $n$ ;
$A_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}$ representa la amplitud de cada armónico y $\theta_n = \operatorname{atan2}(-b_n, a_n)$ su ángulo de fase inicial (la función $\operatorname{atan2}$ preserva de forma unívoca el cuadrante angular atendiendo a los signos de $a_n$ y $b_n$ ).

2. Para una señal no periódica: la transformada de Fourier

Para extender intuitivamente este principio desde una onda periódica hacia un evento transitorio no periódico —un pulso solitario, una sílaba de voz o una perturbación temporal finita—, se puede interpretar que el período $T$ tiende a infinito ( $T \to \infty$ ). El espaciamiento discreto entre frecuencias adyacentes $\Delta f = 1/T$ tiende a cero y el espectro se torna continuo. Bajo las condiciones matemáticas pertinentes, este límite formaliza la transformada de Fourier:

X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\,e^{-j2\pi f t}\,\mathrm{d}t \qquad \Longleftrightarrow \qquad x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} X(f)\,e^{j2\pi f t}\,\mathrm{d}f

El espectro se vuelve continuo: $X(f)$ cuantifica la amplitud compleja y la fase asociada a cada componente infinitesimal de frecuencia. Tratándose de una señal de energía finita, $|X(f)|^2$ describe su densidad espectral de energía.

3. Por qué este teorema es fundamental para los filtros lineales

En todo circuito lineal e invariante en el tiempo (LTI), se aplica el principio de superposición. Si se conoce de antemano la respuesta en frecuencia del filtro $H(j\omega)$ ante cada frecuencia senoidal básica, la respuesta global $y(t)$ ante una señal de entrada periódica compleja arbitraria $x(t)$ se obtiene sumando las respuestas individuales: basta con ponderar cada armónico por la ganancia $|H(j n\omega_0)|$ y desplazar su ángulo por el desfase $\arg H(j n\omega_0)$ que el filtro exhibe en esa frecuencia exacta:

y(t) = A_0 \cdot H(0) + \sum_{n=1}^{+\infty} A_n \cdot |H(j n\omega_0)|\,\cos\big(n\omega_0 t + \theta_n + \arg H(j n\omega_0)\big)

Este marco permite describir por completo, en su régimen lineal y para condiciones iniciales nulas, a un filtro analógico LTI estable mediante su sola función de respuesta armónica en frecuencia $H(j\omega)$ .

Fuentes y filiación

Fuente de inspiración histórica: dosier temático «Les filtres passifs et actifs», revista Hobbytronic n° 11, p. 2–9. Los números originales se encuentran archivados en Abandonware Magazines.
Fuentes históricas primarias:
- Isaac Newton, «A Letter… containing his New Theory about Light and Colors», Philosophical Transactions of the Royal Society, n° 80, 19 de febrero de 1671/72, p. 3075–3087. (citado en el § La palabra «espectro» y la analogía luminosa)
- Joseph Fourier, Théorie analytique de la chaleur, París, Firmin Didot père et fils, 1822. (citado en los § Una entrada, una salida y Anexo: Teorema de Fourier)
- Jacob Millman, «A Useful Network Theorem», Proceedings of the IRE, vol. 28, n° 9, septiembre de 1940, p. 413–417. (citado en el § Autopsia del efecto de carga y fórmula de Millman)
Complementos teóricos:
- Bruce Carter, «High-speed notch filters», Texas Instruments Analog Applications Journal, 1Q 2006, p. 19–24, documento SLYT230. (citado en el § El filtro rechaza-banda de doble T)

¿Qué es un filtro?

Cuatro formas de seleccionar frecuencias y una quinta para modificar la fase

Una quinta respuesta particular: el filtro pasa-todo, o red desfasadora

Varias formas de realizar un mismo filtrado

Una entrada, una salida y una función de transferencia

El orden de un filtro, los polos y los ceros: los secretos de la fracción

Lectura del relieve: seis cortes para comprender el comportamiento de la ganancia

¿Y la fase? Por qué el relieve 3D no lo muestra todo

El filtro pasa-bajas de primer orden: la celda RC

Del punto a −3 dB a la plantilla de tolerancia

El filtro pasa-altas de primer orden: la celda CR

Por qué dos celdas idénticas no se suman de manera simple

El punto de vista de Thévenin: autopsia del efecto de carga

En conclusión: la regla de oro de la cascada pasiva

Cómo liberarse del efecto de carga: soluciones pasivas y activas

1. La solución pasiva: el escalonamiento de impedancias

En resumen: por qué el escalonamiento de impedancias tiene éxito donde la cascada idéntica falla

2. La solución activa: la etapa búfer seguidora con amplificador operacional (desacople ideal)

Síntesis comparativa de las tres arquitecturas de segundo orden (f_0 = 1\ 000\ \text{Hz})

Para profundizar: ¿y si observáramos estos filtros con un eje de frecuencias lineal?

El segundo orden: no confundamos más f_0, f_c y f_r, explicaciones sobre \xi, \omega y Q

¿De dónde surge la letra \xi y por qué ese factor 2?

Tres frecuencias que ya no debemos confundir

Los polos se ubican en el plano complejo

Dos celdas RC pasivas

Volvamos al filtro pasa-todo de segundo orden

De pasa-bajas a pasa-altas

El filtro pasa-bajas pasivo RLC de segundo orden

El filtro pasa-altas pasivo RLC de segundo orden

Los filtros pasa-banda pasivos RC

El filtro pasa-banda pasivo RLC

El filtro rechaza-banda de doble T

¿Cuándo elegir un filtro pasivo?

De los filtros pasivos a los integradores prácticos

La trampa del integrador ideal y las soluciones prácticas

Conclusiones y perspectivas

Anexo: El teorema de Fourier y la descomposición espectral

1. Para una señal periódica: la serie de Fourier

2. Para una señal no periódica: la transformada de Fourier

3. Por qué este teorema es fundamental para los filtros lineales

Fuentes y filiación

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